《2025年初中必刷题七年级数学上册湘教版》

1 [2024 湖南岳阳期中]已知:等式的基本性质1:等式两边都加上或减去同一个数(或整式),等式两边仍然相等.
等式的基本性质2:等式两边都乘同一个数,或除以同一个不为0的数,等式两边仍然相等.
问题:如下是方程 $ 1 - \frac { 3 x - 1 } { 4 } = \frac { 3 + x } { 2 } $ 的求解过程,其中依据等式的基本性质的步骤有(D)
$\begin{array} { l } { \text { 解: } 4 - ( 3 x - 1 ) = 2 ( 3 + x ), \quad \text { ① } } \\ { 4 - 3 x + 1 = 6 + 2 x, \quad \text { ② } } \\ { - 3 x - 2 x = 6 - 4 - 1, \quad \text { ③ } } \\ { - 5 x = 1, \quad \text { ④ } } \\ { x = - \frac { 1 } { 5 }. \quad \text { ⑤ } } \end{array} $
A.①②③
B.①②④
C.①④⑤
D.①③⑤

答案： D 【解析】$1-\frac{3x-1}{4}=\frac{3+x}{2}$,利用等式的基本性质 2 去分母,得$4-(3x-1)=2(3+x)$,① 去括号,得$4-3x+1=6+2x$,② 利用等式的基本性质1 移项,得$-3x-2x=6-4-1$,③ 合并同类项,得$-5x=1$,④ 利用等式的基本性质 2 化系数为1,得$x=-\frac{1}{5}$.⑤ 故选 D.

2 [2025 山西太原期中]下面是小蒙同学的解题过程:
解方程: $ \frac { x + 1 } { 2 } - \frac { 3 x + 2 } { 4 } = 3 $.
解:去分母,得 $ 2 ( x + 1 ) - 3 x + 2 = 12 $,…第一步
去括号,得 $ 2 x + 2 - 3 x + 2 = 12 $,…第二步
移项,得 $ 2 x - 3 x = 12 - 2 - 2 $,…第三步
合并同类项,得 $ - x = 8 $,…第四步
两边都除以 $ - 1 $,得 $ x = - 8 $.…第五步
(1)以上求解步骤中,第一步的依据是等式的基本性质 2.
(2)上述小蒙的解题过程从第一步开始出现错误,具体的错误是去分母时没有加括号导致符号错误.
(3)求出方程正确的解.
【解】
$\frac{x+1}{2}-\frac{3x+2}{4}=3$,
去分母,得$2(x+1)-(3x+2)=12$,
去括号,得$2x+2-3x-2=12$,
移项,得$2x-3x=12-2+2$,
合并同类项,得$-x=12$,
两边都除以-1,得$x=-12$,
故方程正确的解为$x=-12$.

答案： 【解】
(1)第一步的依据是等式的基本性质 2,故答案为等式的基本性质 2.
(2)小蒙的解题过程从第一步开始出现错误,具体的错误是去分母时没有加括号导致符号错误.故答案为一,去分母时没有加括号导致符号错误.
(3)$\frac{x+1}{2}-\frac{3x+2}{4}=3$,去分母,得$2(x+1)-(3x+2)=12$,去括号,得$2x+2-3x-2=12$,移项,得$2x-3x=12-2+2$,合并同类项,得$-x=12$,两边都除以-1,得$x=-12$,故方程正确的解为$x=-12$.

3 [2025 湖南益阳期末]关于x的一元一次方程 $ 2 x ^ { a - 2 } - m = 4 $ 的解为 $ x = 1 $,则 $ a + m $ 的值为(C)
A.3
B.2
C.1
D.0

答案： C 【解析】因为关于x的方程$2x^{a-2}-m=4$是一元一次方程,所以$a-2=1$,解得$a=3$,所以方程为$2x-m=4$.将$x=1$代入方程得$2-m=4$,解得$m=-2$,所以$a+m=3+(-2)=1$.故选 C.

4 [2024 广东珠海质检]小明在解方程 $ 8 - 3 x = a x + 4 $ 时,把方程右边的“+4”看成了“-4”,解得 $ x = 3 $,则a的值是(C)
A.-3
B.-1
C.1
D.3

答案： C 【解析】因为解方程$8-3x=ax+4$时,把方程右边的“+4”看成了“-4”,解得$x=3$,所以$x=3$是方程$8-3x=ax-4$的解,所以$8-3×3=a×3-4$,所以$-1=3a-4$,所以$a=1$.故选 C.

5 新考法[2024 安徽滁州质检]若关于x的方程 $ 13 m + x = 59 $ 的解是关于x的方程 $ \frac { 2 x - 3 m } { 3 } - \frac { x - 1 } { 4 } = 1 $ 的解的5倍.
(1)求m的值;
(2)若多项式 $ - m + 3 n $ 的值比多项式 $ 2 ( m - n ) $ 的值大9,求多项式 $ 2 m - n $ 的值.

答案： 【解】
(1)解方程$13m+x=59$,得$x=59-13m$.解方程$\frac{2x-3m}{3}-\frac{x-1}{4}=1$,得$x=\frac{9+12m}{5}$.由题意得$59-13m=5×\frac{9+12m}{5}$,解得$m=2$.
(2)由题意得$-m+3n-9=2(m-n)$.把$m=2$代入,得$-2+3n-9=2(2-n)$,解得$n=3$,所以$2m-n=2×2-3=1$.