《2025年初中必刷题七年级数学上册湘教版》

1 [2024 湖南张家界期中,中] 关于 x,y 的二元一次方程组 $\begin{cases}x + y = 1 - m,\\x - 3y = 5 + 3m\end{cases} $ 中,若 m 与方程组的解中的 x 或 y 相等,则 m 的值为 (D)
A.3 或 $\dfrac{1}{3}$
B.2 或 $-\dfrac{1}{3}$
C.3 或 $\dfrac{1}{2}$
D.2 或 $-\dfrac{1}{2}$

答案： D 【解析】若$m=x$，则方程组变形为$\left\{\begin{array}{l} 2x+y=1,\\ 2x+3y=-5,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} x=2,\\ y=-3,\end{array}\right. $此时$m=x=2$；若$m=y$，则方程组变形为$\left\{\begin{array}{l} x+2y=1,\\ x-6y=5,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} x=2,\\ y=-\frac {1}{2},\end{array}\right. $此时$m=y=-\frac {1}{2}$. 综上，m的值为2或$-\frac {1}{2}$，故选 D.

2 [2024 湖南常德期中,中] 若关于 x,y 的方程组 $\begin{cases}x + y = 2,\\ax + 2y = 8\end{cases} $ 的解为整数,则满足条件的所有整数 a 的值的和为 (C)
A.6
B.9
C.12
D.16

答案： C 【解析】$\left\{\begin{array}{l} x+y=2,①\\ ax+2y=8,②\end{array}\right. $②-①×2得$(a-2)x=4$，解得$x=\frac {4}{a-2}$. 因为关于x,y的方程组$\left\{\begin{array}{l} x+y=2,\\ ax+2y=8\end{array}\right. $的解为整数，所以$a=-2,0,1,3,4,6$，所以满足条件的所有整数a的值的和为$-2+0+1+3+4+6=12$. 故选 C.

3 [2025 江苏南通期末,中] 已知关于 x,y 的方程组 $\begin{cases}x - y = a,\\3x + y = 2b\end{cases} $ 的解满足 $\begin{cases}x = m - 1,\\y = 3n + 2,\end{cases} $ 其中 m,n 都是有理数,且 $m - n = 5$. 若 a,b 均为正整数,则所有符合条件的整数 n 的个数为3.

答案： 3 【解析】解方程组$\left\{\begin{array}{l} x-y=a,\\ 3x+y=2b,\end{array}\right. $得$\left\{\begin{array}{l} x=\frac {a+2b}{4},\\ y=\frac {2b-3a}{4}.\end{array}\right. $因为方程组的解满足$\left\{\begin{array}{l} x=m-1,\\ y=3n+2,\end{array}\right. $所以$m-1=\frac {a+2b}{4},3n+2=\frac {2b-3a}{4}$，所以$m=\frac {a+2b+4}{4},n=\frac {2b-3a-8}{12}$. 因为$m-n=5$，所以$\frac {a+2b+4}{4}-\frac {2b-3a-8}{12}=5$. 整理，得$3a+2b=20$. 因为a,b均为正整数，所以当$a=2$时,$b=7$，此时$n=\frac {2b-3a-8}{12}=0$；当$a=4$时,$b=4$，此时$n=\frac {2b-3a-8}{12}=-1$；当$a=6$时,$b=1$，此时$n=\frac {2b-3a-8}{12}=-2$，所以所有符合条件的整数n的值为0,-1,-2，共3个. 故答案为3.

4 [2025 湖南永州质检,中] 我们把关于 x,y 的两个二元一次方程 x + ky = b 与 kx + y = b(k ≠ 1) 叫作互为共轭二元一次方程,关于 x,y 的二元一次方程组$ \begin{cases}x + ky = b,\\kx + y = b\end{cases} (k ≠ 1) $叫作共轭二元一次方程组.
(1)若关于 x,y 的二元一次方程组$ \begin{cases}x + 2y = b + 2,\\(1 - a)x + y = 3\end{cases} $为共轭二元一次方程组,则 a = -1,b = 1；
(2)若关于 x,y 的二元一次方程 x + ky = b 中 x,y 的值满足下表：
| x | 2 | 0 |
| y | 0 | 1 |
则这个方程的共轭二元一次方程是2x+y=2；
(3)发现：若关于 x,y 的共轭二元一次方程组$ \begin{cases}x + ky = b,\\kx + y = b\end{cases} 的解是 \begin{cases}x = m,\\y = n,\end{cases} $请写出 m,n 之间的数量关系.
m=n

答案：
(1)因为关于x,y的二元一次方程组$\left\{\begin{array}{l} x+2y=b+2,\\ (1-a)x+y=3\end{array}\right. $是共轭二元一次方程组，所以$1-a=2,b+2=3$，解得$a=-1,b=1$. 故答案为-1,1.
(2)将$\left\{\begin{array}{l} x=2,\\ y=0,\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l} x=0,\\ y=1\end{array}\right. $代入方程$x+ky=b$中，得$2=b,k=b$，所以$k=b=2$，所以二元一次方程是$x+2y=2$，所以其共轭二元一次方程是$2x+y=2$，故答案为$2x+y=2$.
(3)因为$\left\{\begin{array}{l} x+ky=b,\\ kx+y=b\end{array}\right. $的解为$\left\{\begin{array}{l} x=m,\\ y=n,\end{array}\right. $所以$\left\{\begin{array}{l} m+kn=b,①\\ km+n=b,②\end{array}\right. $①-②得$(1-k)m+(k-1)n=0$，所以$(1-k)m=(1-k)n$. 因为$k≠1$，所以$m=n$.

5 核心素养 运算能力 [2025 湖南岳阳质检,较难] 对于有理数 x,y,定义新运算：$x \infty y = ax + by$,$x \otimes y = ax - by$,其中 a,b 是常数,已知 $1 \infty 1 = 1$,$3 \otimes 2 = 8$.
(1)求 a,b 的值；
(2)若关于 x,y 的方程组 $\begin{cases}a_{1}x \infty b_{1}y = c_{1},\\a_{2}x \otimes b_{2}y = c_{2}\end{cases} $ 的解为 $\begin{cases}x = \dfrac{6}{5},\\y = \dfrac{2}{5},\end{cases} $ 则关于 x,y 的方程组 $\begin{cases}3a_{1}(x + y) \infty 4b_{1}(x - y) = 5c_{1},\\3a_{2}(x + y) \otimes 4b_{2}(x - y) = 5c_{2}\end{cases} $ 的解为______.
(1)由题意得$\left\{\begin{array}{l} a+b=1,\\ 3a-2b=8,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} a=2,\\ b=-1.\end{array}\right. $
(2)$\left\{\begin{array}{l} x=\frac {5}{4},\\ y=\frac {3}{4}\end{array}\right. $

答案：
(1)由题意得$\left\{\begin{array}{l} a+b=1,\\ 3a-2b=8,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} a=2,\\ b=-1.\end{array}\right. $
(2)$\left\{\begin{array}{l} 3a_{1}(x+y)\propto 4b_{1}(x-y)=5c_{1},\\ 3a_{2}(x+y)\otimes 4b_{2}(x-y)=5c_{2}\end{array}\right. $可变形为$\left\{\begin{array}{l} a_{1}\cdot \frac {3(x+y)}{5}\propto b_{1}\cdot \frac {4(x-y)}{5}=c_{1},\\ a_{2}\cdot \frac {3(x+y)}{5}\otimes b_{2}\cdot \frac {4(x-y)}{5}=c_{2}.\end{array}\right. $令$\left\{\begin{array}{l} \frac {3(x+y)}{5}=m,\\ \frac {4(x-y)}{5}=n,\end{array}\right. $得$\left\{\begin{array}{l} a_{1}m∞b_{1}n=c_{1},\\ a_{2}m\otimes b_{2}n=c_{2}.\end{array}\right. $因为关于x,y的方程组$\left\{\begin{array}{l} a_{1}x∞b_{1}y=c_{1},\\ a_{2}x\otimes b_{2}y=c_{2}\end{array}\right. $的解为$\left\{\begin{array}{l} x=\frac {6}{5},\\ y=\frac {2}{5},\end{array}\right. $
刷有所得 换元法：如果方程或方程组由某一个或几个代数式整体组成，那么可以引入一个或几个新的变量来代替它们，使之转化为新的方程或方程组，然后求解，进而求出原方程或方程组的解.
刷有所得
(2)解两个方程中未知数的系数交换的方程组时，两式相加后不同未知数的系数相同，然后两边同时除以这个系数，得到较为简单的方程，最后利用加减消元法进行计算即可.
所以关于m,n的方程组$\left\{\begin{array}{l} a_{1}m∞b_{1}n=c_{1},\\ a_{2}m\otimes b_{2}n=c_{2}\end{array}\right. $的解为$\left\{\begin{array}{l} m=\frac {6}{5},\\ n=\frac {2}{5},\end{array}\right. $所以$\left\{\begin{array}{l} \frac {3(x+y)}{5}=\frac {6}{5},\\ \frac {4(x-y)}{5}=\frac {2}{5},\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} x=\frac {5}{4},\\ y=\frac {3}{4}.\end{array}\right. $故答案为$\left\{\begin{array}{l} x=\frac {5}{4},\\ y=\frac {3}{4}.\end{array}\right. $