《2025年初中必刷题七年级数学上册湘教版》

1[中]已知关于x的方程$\frac{1}{2}(8 - x) = 7 + x的解与方程\frac{2x + a}{2} - \frac{x - 1}{3} = \frac{x}{6} + 2a$的解互为相反数,求a的值.

答案： 【解】解方程$\frac{1}{2}(8-x)=7+x$,得$x=-2$.
因为关于x的方程$\frac{1}{2}(8-x)=7+x$的解与方程$\frac{2x+a}{2}-\frac{x-1}{3}=\frac{x}{6}+2a$的解互为相反数,
所以方程$\frac{2x+a}{2}-\frac{x-1}{3}=\frac{x}{6}+2a$的解为$x=2$.
把$x=2$代入,得$\frac{4+a}{2}-\frac{2-1}{3}=\frac{2}{6}+2a$,
解得$a=\frac{8}{9}$.

2[2024湖北鄂州质检,中]晶晶在解关于x的方程$\frac{ax - 1}{2} + 6 = \frac{2 + x}{3}$时,把6错写成1,解得x = 1,除此之外晶晶在解题中没有错误,请你正确求出此方程的解.

答案： 【解】因为解关于x的方程$\frac{ax-1}{2}+6=\frac{2+x}{3}$时,把6错写成1,解得$x=1$,
所以把$x=1$代入$\frac{ax-1}{2}+1=\frac{2+x}{3}$,解得$a=1$,
所以原方程应为$\frac{x-1}{2}+6=\frac{2+x}{3}$,解得$x=-29$.

3[2024广东广州期中,中]已知m,n是有理数,单项式$-x^ny$的次数是3,方程$(m + 1)x^2 + mx - tx + n + 2 = 0$是关于x的一元一次方程,其中m ≠ t.
(1)求m,n的值；
(2)若该方程的解是x = 3,求t的值；
(3)若该方程的解是正整数,请直接写出整数t的值.

答案： 【解】
(1)由题意得$n+1=3$,$m+1=0$,解得$n=2$,$m=-1$.
(2)由
(1)得$n=2$,$m=-1$,所以原方程为$-x-tx+4=0$.
将$x=3$代入得,$-3-3t+4=0$,所以$t=\frac{1}{3}$.
(3)因为$n=2$,$m=-1$,所以原方程为$-x-tx+4=0$,所以$x=\frac{4}{t+1}$.因为t是整数,x是正整数,所以$t+1=1,2,4$,所以$t=0,1,3$.

4[2024吉林长春期中,中]已知关于x的方程4 + 3ax = 2a - 7有唯一解,关于y的方程2 + y = (b + 1)y无解,判断关于z的方程az = b的解的情况.

答案： 【解】关于x的方程$4+3ax=2a-7$可以整理为$3ax=2a-11$.因为关于x的方程$4+3ax=2a-7$有唯一解,所以$a≠0$.关于y的方程$2+y=(b+1)y$整理得$by=2$.因为关于y的方程$2+y=(b+1)y$无解,所以$b=0$,则关于z的方程$az=b$可解得$z=\frac{b}{a}$,所以$z=0$,所以关于z的方程$az=b$有唯一解,为$z=0$.

5[2024四川成都期末,中]已知关于x的方程$(a - 2)x^{|a| - 1} + 4b = 0$为一元一次方程,且该方程的解与关于x的方程$\frac{2x + 1}{3} = \frac{x - b}{2} + 1$的解相同.
(1)求a,b的值；
(2)若关于y的方程$|m - 1|y + n = a + 1 + 2by$有无数个解,求m,n的值.

答案： 【解】
(1)因为关于x的方程$(a-2)x^{|a|-1}+4b=0$为一元一次方程,所以$|a|-1=1$,$a-2≠0$,解得$a=-2$.
当$a=-2$时,方程为$-4x+4b=0$,解得$x=b$.又因为两个方程同解,所以$\frac{2b+1}{3}=\frac{b-b}{2}+1$,解得$b=1$.
(2)把$a=-2$,$b=1$代入$|m-1|y+n=a+1+2by$,可得$|m-1|y+n=-1+2y$,变形得$(|m-1|-2)y=-n-1$.因为关于y的方程$|m-1|y+n=a+1+2by$有无数个解,所以$|m-1|-2=0$,$-n-1=0$,所以$m=3$或$-1$,$n=-1$.