《2025年初中必刷题七年级数学上册湘教版》

1 [2024 湖南怀化期中,中]已知 $a×b×c×d×e$,其中有三个负数,则 $a×b×c×d×e$ (D)
A.大于 0
B.小于 0
C.大于或等于 0
D.小于或等于 0

答案： 1.D 【解析】不妨设a,b,c是负数.当d,e都是正数时,a×b×c×d×e是负数;当d,e中至少有一个是0时,a×b×c×d×e是0.因而a×b×c×d×e是0或负数,即小于或等于0.故选 D.

[2024 湖南常德期中,中]已知数 $a$,$b$,$c$ 在数轴上的对应点如图所示,则下列结论错误的是 (B)

A.$a + b ＞ 0$
B.$\frac{a}{b} ＞ 0$
C.$c + 1 ＜ 0$
D.$abc ＞ 0$

答案： 2.B 【解析】由数轴可得c＜b＜0＜a,|a|＞|b|,|c|＞1,所以a+b＞0,$\frac{a}{b}$＜0,c+1＜0,abc＞0.故A、C、D 正确,B 错误,故选 B.

3 [2024 河北邯郸期末]如图,阶梯图的每个台阶上都标着一个数,从下到上的第 1 个至第 3 个台阶上依次标着 $-2$,$-1$,$-\frac{1}{2}$,且任意相邻三个台阶上的数的积都相等. 下列对结论Ⅰ和Ⅱ的判断正确的是 (B)
结论Ⅰ：从下到上前 2022 个台阶上的数的积是 $-1$.
结论Ⅱ：数“$-\frac{1}{2}$”所在的台阶数用正整数 $k$ 表示为 $3k$.

A.Ⅰ对、Ⅱ错
B.Ⅰ错、Ⅱ对
C.Ⅰ和Ⅱ都对
D.Ⅰ和Ⅱ都错

答案： 3.B 【解析】因为任意相邻三个台阶上的数的积都相等,且-2×(-1)×$(-\frac{1}{2})$=-1,2022=674×3,所以从下到上前2022个台阶上的数的积是1.故结论Ⅰ错误.由题意知数“$-\frac{1}{2}$”在第3个台阶、第6个台阶、第9个台阶、…上面,所以数“$-\frac{1}{2}$”所在的台阶数用正整数k表示为3k.故结论Ⅱ正确.故选 B.

4 [中]已知 $a$,$b$,$c$,$d$ 是四个互不相等的整数,且 $(a - 3)×(b - 3)×(c - 3)×(d - 3) = 25$,则 $a + b + c + d = $12.

答案： 4.12 【解析】因为a,b,c,d是四个互不相等的整数,所以a-3,b-3,c-3,d-3也是四个互不相等的整数,且其积为25,则这四个数只能是1,-1,5,-5,所以(a-3)+(b-3)+(c-3)+(d-3)=0,所以a+b+c+d=12.故答案为12.

5 [2025 湖南永州期末,中]用 $f(n)$ 表示组成 $n$ 的所有数字的乘积,例如：$f(29) = 2×9 = 18$,$f(207) = 2×0×7 = 0$. 则 $f(1) + f(2) + … + f(100) = $2070.

答案： 5.2070 【解析】因为f
(1)+f
(2)+…+f
(9)+f
(10)=1+2+3+…+9+0=1+2+3+…+9,f
(11)+f
(12)+…+f
(19)+f
(20)=1×1+1×2+1×3+…+1×9+2×0=1×(1+2+3+…+9),f
(21)+f
(22)+…+f
(29)+f
(30)=2×1+2×2+2×3+…+2×9+3×0=2×(1+2+3+…+9),…,所以f
(1)+f
(2)+…+f
(100)=(1+1+2+3+4+5+6+7+8+9)×(1+2+3+4+5+6+7+8+9)=46×45=2070.故答案为2070.

6 [2025 湖南长沙期中,中]【阅读】我们学习了有理数的加法法则与有理数的乘法法则,在学习此内容时,也学会了分类思考.
【探索】
(1) 若 $a + b = 6$,则 $ab$ 的值可能为①②③(只填序号).
①负数,②正数,③0.
(2) 若 $a + b = -5$,$a$,$b$ 为整数,则 $ab$ 的最大值为6.
【拓展】
(3) 数轴上 $A$,$B$ 两点分别对应有理数 $a$,$b$,若 $a + b ＞ 0$,试比较 $ab$ 与 0 的大小.

因为a+b＞0，所以a，b中至少有一个为正数。①当a，b都为正数时，ab＞0；②当a，b中一个为正数，另一个为0时，ab=0；③当a，b中一个为正数，另一个为负数，且正数的绝对值大于负数的绝对值时，ab＜0。

答案： 6.【解】
(1)若a=7,b=-1,则ab=-7,则①成立;若a=5,b=1,则ab=5,则②成立;若a=6,b=0,则ab=0,则③成立.故答案为①②③.
(2)因为a+b=-5,且a,b为整数,所以要使得ab的值最大,则a,b必须同为负数.因为-5=(-2)+(-3)=(-1)+(-4),(-2)×(-3)＞(-1)×(-4),所以ab的最大值为6,故答案为6.
(3)因为a+b＞0,所以a,b中至少有一个为正数.①当a,b都为正数时,ab＞0;②当a,b中一个为正数,另一个为0时,ab=0;③当a,b中一个为正数,另一个为负数,且正数的绝对值大于负数的绝对值时,ab＜0.

7 [中]阅读材料,回答问题.
$(1 + \frac{1}{2})×(1 - \frac{1}{3}) = \frac{3}{2}×\frac{2}{3} = 1$,
$(1 + \frac{1}{2})×(1 + \frac{1}{4})×(1 - \frac{1}{3})×(1 - \frac{1}{5}) = \frac{3}{2}×\frac{5}{4}×\frac{2}{3}×\frac{4}{5} = (\frac{3}{2}×\frac{2}{3})×(\frac{5}{4}×\frac{4}{5}) = 1×1 = 1$.
根据以上信息,求出下面式子的结果.
$(1 + \frac{1}{2})×(1 + \frac{1}{4})×(1 + \frac{1}{6})×…×(1 + \frac{1}{20})×(1 - \frac{1}{3})×(1 - \frac{1}{5})×(1 - \frac{1}{7})×…×(1 - \frac{1}{21})$.

答案： 7.【解】$(1+\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{4})×(1+\frac{1}{6})×…×(1+\frac{1}{20})×(1-\frac{1}{3})×(1-\frac{1}{5})×(1-\frac{1}{7})×…×(1-\frac{1}{21})$=$\frac{3}{2}×\frac{5}{4}×\frac{7}{6}×…×\frac{21}{20}×\frac{2}{3}×\frac{4}{5}×\frac{6}{7}×…×\frac{20}{21}$=$(\frac{3}{2}×\frac{2}{3})×(\frac{5}{4}×\frac{4}{5})×(\frac{7}{6}×\frac{6}{7})×…×(\frac{21}{20}×\frac{20}{21})$=1×1×1×…×1=1.