《2025年初中必刷题七年级数学上册湘教版》

1 [2025 湖南郴州汝城期中, 中] 绝对值不大于 4 的整数的个数是(A)
A.9
B.8
C.7
D.6

答案： A 【解析】绝对值不大于4的整数有4，-4，3，-3，2，-2，1，-1，0，共9个. 故选 A.

2 [2025 湖北武汉期中, 中] 若 $|a - 3| = |a| + |-3|$, 则 $a$ 的值是(C)
A.任意有理数
B.任意一个非负数
C.任意一个非正数
D.任意一个负数

答案： C 【解析】当a≥3时，|a-3|=a-3，|a|+|-3|=a+3，此时|a-3|≠|a|+|-3|；当0＜a＜3时，|a-3|=-a+3，|a|+|-3|=a+3，此时|a-3|≠|a|+|-3|；当a≤0时，|a-3|=-a+3，|a|+|-3|=-a+3，此时|a-3|=|a|+|-3|，所以当|a-3|=|a|+|-3|时，a的值是任意一个非正数. 故选 C.

3 [2025 贵州铜仁期中, 中] 如果 $|x| = 4$, $|y| = 7$, 且 $x ＞ y$, 那么 $x + y$ 的值是(D)
A.-11
B.-3
C.3
D.-3 或 -11

答案： D 【解析】因为|x|=4，|y|=7，所以x=±4，y=±7. 因为x＞y，所以x=4，y=-7或x=-4，y=-7. 当x=4，y=-7时，x+y=4+(-7)=-3；当x=-4，y=-7时，x+y=(-4)+(-7)=-11. 故选 D.

4 [2024 安徽滁州期中, 中] 下列结论:
①若 $|x| = |-3|$, 则 $x = \pm 3$;
②若 $|-x| = |-3|$, 则 $x = 3$;
③若 $|x| = |y|$, 则 $x = y$.
其中, 正确的结论是① (填序号).

答案： ① 【解析】①若|x|=|-3|，则x=±3，正确，符合题意；②若|-x|=|-3|，则x=±3，原结论不正确，不符合题意；③若|x|=|y|，则x=±y，原结论不正确，不符合题意. 故答案为①.

5 [2025 湖南衡阳期中, 中] 在某次抗险救灾中, 消防救援人员的冲锋舟沿东西方向的河流营救灾民, 早晨从 $A$ 地出发, 晚上到达 $B$ 地, 约定向东为正方向, 当天的航行路程记录如下 (单位: 千米): +14, -9, +8, -7, +13, -6, +10, -3. 若冲锋舟每千米耗油 0.5 升, 油箱容量为 29 升 (救灾前是满油状态), 求途中还需补充多少升油.

答案： 【解】0.5×(|+14|+|-9|+|+8|+|-7|+|+13|+|-6|+|+10|+|-3|)=0.5×70=35(升)，35-29=6(升).
答：途中还需补充6升油.

6 [2025 江苏苏州质检, 较难] 数轴上点 $A$, $B$ 分别表示有理数 $a$, $b$, $AB$ 表示 $A$, $B$ 两点之间的距离, 则 $AB = |a - b|$. 例如: 数轴上表示数 2 和 5 的两点之间的距离为 $|2 - 5| = 3$; 数轴上表示数 3 和 -1 的两点之间的距离为 $|3 - (-1)| = 4$. 又如: $|x + 2|$ 可以写成 $|x - (-2)|$, 它的几何意义是数轴上表示数 $x$ 的点与表示数 -2 的点之间的距离.
(1) 和为定值$|x + 2| + |x - 3|$ 表示数轴上有理数 $x$ 对应的点到 -2 和 3 对应的两点距离之和. 请你利用数轴, 写出所有符合条件的整数 $x$, 使得 $|x + 2| + |x - 3| = 5$.
(2) 偶数个绝对值之和最小① $|x + 3| + |x - 4|$ 的最小值是______, 此时 $x$ 的取值范围是______.
②代数式 $|x + 7| + |x + 4| + |x - 2| + |x - 5|$ 的最小值是______, 此时 $x$ 的取值范围是______.
(3) 奇数个绝对值之和最小① $|x + 6| + |x + 3| + |x - 2|$ 的最小值是______, 此时 $x$ 的值是______.
② $|x - 1| + |x - 2| + |x - 3| + … + |x - 617|$ 取最小值时 $x$ 的值是______.

答案：
【解】
(1)|x+2|+|x-3|=5表示数轴上有理数x对应的点到-2和3对应的两点的距离之和为5，如图
(1).

因为表示-2和表示3的两点之间的距离是5，所以在-2和3之间(含-2和3)的整数均符合题意，所以所有符合条件的整数x为-2,-1,0,1,2,3.
(2)①因为|x+3|+|x-4|=|x-(-3)|+|x-4|，所以|x+3|+|x-4|表示数轴上有理数x对应的点到-3和4对应的两点的距离之和. 假设点P在数轴上表示的数是x，点A表示的数是-3，点B表示的数是4，则点P可能在点A的左边或点A和点B之间(含点A和点B)或点B的右边. 如图
(2)所示，当点P在点A的左边或点B的右边时，点P到A，B两点的距离之和均大于A，B两点间的距离；当点P在点A和点B之间(含点A和点B)时，点P到A，B两点的距离之和等于A，B两点间的距离，所以x在-3和4之间(含-3和4)，即-3≤x≤4，|x+3|+|x-4|的最小值为7. 故答案为7，-3≤x≤4.

②因为|x+7|+|x+4|+|x-2|+|x-5|=|x-(-7)|+|x-(-4)|+|x-2|+|x-5|，所以x在-4和2之间(含-4和2)，即-4≤x≤2，代数式|x+7|+|x+4|+|x-2|+|x-5|的最小值为18. 故答案为18，-4≤x≤2.
(3)①因为|x+6|+|x+3|+|x-2|=|x-(-6)|+|x-(-3)|+|x-2|，所以|x+6|+|x+3|+|x-2|表示数轴上有理数x对应的点到-6，-3和2对应的三点的距离之和. 假设点P在数轴上表示的数是x，点A表示的数是-6，点B表示的数是-3，点C表示的数是2，如图
(3)所示，当点P在点B处时，P到A，B，C三点的距离之和等于A，C两点间的距离；当点P在除点B外的任意位置时，P到A，B，C三点的距离之和均大于A，C两点间的距离，所以当x=-3时，|x+6|+|x+3|+|x-2|有最小值，为8. 故答案为8，-3.

②因为(1+617)÷2=309，所以当x=309时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-617|取得最小值. 故答案为309.