《2025年练习部分九年级数学上册沪教版54制》

4. (1)阅读：
试一试 当 $\angle \alpha$ 在 $0^\circ$ 到 $90^\circ$($\alpha$ 不等于 $0^\circ$ 或 $90^\circ$)的范围内增大时,$\sin \alpha$ 的值如何变化？
由锐角三角比的定义知,$\sin \alpha=\frac{\angle \alpha 的对边}{\angle \alpha 的斜边}$,当 $\angle \alpha$ 变化时,一般来说,“$\angle \alpha$ 的对边”和“$\angle \alpha$ 的斜边”都可以变化. 为讨论问题方便起见,我们可把“$\angle \alpha$ 的斜边”的长度固定,让 $\angle \alpha$ 变化,这时 $\angle \alpha$ 的对边的长度随着变化. 通过分析 $\angle \alpha$ 的对边长度的变化情况,可知 $\sin \alpha$ 的值的变化情况.
如图,作一个圆心角为 $90^\circ$ 的扇形 $OAB$,将扇形的半径 $OC$ 作为直角三角形的斜边,构造 $Rt\triangle OC_1C$,设 $\angle COC_1= \alpha_1$,则 $\sin \alpha_1= \frac{CC_1}{OC}$. 当 $\angle \alpha$ 增大时,如设 $\angle DOD_1= \alpha_2$,$\alpha_2＞\alpha_1$,则 $\sin \alpha_2= \frac{DD_1}{OD}$. 由于 $OC= OD$,$DD_1＞CC_1$,可知 $\sin \alpha_2＞\sin \alpha_1$. 所以,当 $\angle \alpha$ 在 $0^\circ$ 到 $90^\circ$ 的范围内增大时,$\sin \alpha$ 的值也增大.
当问题中出现两个变量时,设法固定其中一个变量,通过研究另一个变量的变化情况来寻找问题的结论,这样的方法称为固定变量法.
(2)探究：
用固定变量法研究,当 $\angle \alpha$ 在 $0^\circ$ 到 $90^\circ$($\alpha$ 不等于 $0^\circ$ 或 $90^\circ$)的范围内增大时,$\tan \alpha$ 值如何变化.

答案：
解：如图，当点B沿着射线AP运动时，AB逐渐变大，而OA保持不变，
因此当α逐渐变大时，tanα随之变大.