《2025年练习部分九年级数学上册沪教版54制》

11. 已知：如图,点 E 在正方形 ABCD 的边 CB 的延长线上,DE 与边 AB 相交于点 F,$FG// BE$,FG 与 AE 相交于点 G.求证：$GF= BF$.

答案： 证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD//BC，AB//CD
∵GF//BE，AD//BC，点E在CB的延长线上
∴GF//AD，
∴△EFG∽△EDA
∴$\frac {GF}{AD}=\frac {EF}{ED}$
∵AB//CD，
∴△EFB∽△EDC
∴$\frac {BF}{CD}=\frac {EF}{ED}，$
∵四边形ABCD是正方形
∴ AD=CD
∵$ \frac { BF}{ CD}=\frac { EF}{ ED}$
$\frac { GF}{ AD}=\frac { EF}{ ED}，$
∴$ \frac { BF}{ CD}=\frac { GF}{ AD}$
∵$ \frac { BF}{ CD}=\frac { GF}{ AD}\ \mathrm {AD}=CD$
∴ BF=GF

12. 如图,方格纸上的方格为边长为 1 个单位,$\triangle ABC和\triangle DEF$的顶点都在方格的格点位置.$\triangle ABC和\triangle DEF$相似吗？若相似请证明；若不相似,请说明理由.

答案： 解：△ABC∽△DEF，理由如下：
因为$AB=2\sqrt{2}，$$AC=\sqrt{2}.BC=\sqrt{10}$
$ DE=\sqrt{5}，$DF=5，$EF=2\sqrt{5}$
所以$\frac {AB}{EF}=\frac {\sqrt{10}}{5}=\frac {BC}{FD}=\frac {AC}{ED}$
所以△ABC∽△DEF

13. 已知：如图,在四边形 ABCD 中,$AD// BC$,$\angle BAD= 90^\circ$,$BD\perp DC$.求证：(1)$\triangle ABD\sim\triangle DCB$.(2)$BD^2= AD\cdot BC$.

答案： 证明：
(1)因为AD//BC
所以∠ADB=∠DBC
因为BD⊥DC
所以∠BDC=90°=∠BAD
所以△ABD∽△DCB
(2)因为△ABD∽△DCB
所以$\frac {BD}{CB}=\frac {AD}{DB}$
所以BD²=AD×BC.