《2025年练习部分九年级数学上册沪教版54制》

3. 已知:在△ABC 中$,∠C= 90^\circ,CD $是斜边 AB 上的高.求证$:△ACD\sim△CBD\sim△ABC.$

答案：

证明：根据题意画出图形如图所示
在△ABC中，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°.
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∴∠B+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD.
在△ABC与△CBD中，
∵∠A=∠BCD，∠ACB=∠CDB，
∴△CBD∽△ABC.
同理可得：△ACD∽△ABC，
∴△ACD∽△CBD∽△ABC.

4. 已知:如图,△ABC 是等边三角形,点 D、E 分别在边 BC、AC 上$,∠ADE= 60^\circ.求证:△ABD\sim△DCE.$

答案： 证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∴∠BAD+∠ADB=120°.
∵∠ADE=60°，
∴∠ADB+∠EDC=120°，
∴∠DAB=∠EDC，
∴△ABD∽△DCE.

1. 根据下列条件判定△ABC 和△DEF 是否相似,如果相似,请用符号表示出来.
(1)∠A= ∠D,AB= 12 厘米,AC= 15 厘米,DE= 4 厘米,DF= 5 厘米.
(2)∠A= ∠E,AB= 12 厘米,AC= 15 厘米,ED= 20 厘米,EF= 16 厘米.
(3)∠A= ∠E,AB= 12 厘米,AC= 15 厘米,DE= 4 厘米,DF= 5 厘米.

答案： 解：
(1)
∵$\frac {AB}{DE}=\frac {12}{4}=3，$$\frac {AC}{DF}=\frac {15}{5}=3，$
∴$\frac {AB}{DE}=\frac {AC}{DF}.$
∵∠A=∠D，
∴△ABC∽△DEF.
(2)
∵$\frac {AB}{EF}=\frac {12}{16}=\frac {3}{4}，$$\frac {AC}{DE}=\frac {15}{20}=\frac {3}{4}，$
∴$\frac {AB}{EF}=\frac {AC}{DE}.$
∵∠A=∠E，
∴△ABC∽△EFD.
(3)
∵$\frac {AB}{DE}=\frac {12}{4}=3，$$\frac {AC}{DF}=\frac {15}{5}=3，$
∴$\frac {AB}{DE}=\frac {AC}{DF}.$
∵∠A与∠E不是对应角，
∴△ABC与△DEF不相似.