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2. 已知△ABC的三边长分别为20厘米、50厘米、60厘米,现要利用长度分别为30厘米和60厘米的细木条各一根,做一个与△ABC相似的三角形木架,要求以其中一根为一边,将另一根截成两段(允许有余料)作为另外两边,那么另外两边的长(单位：厘米)的所有可能情况是(
A.10,25；
B.10,36或12,36；
C.12,36；
D.10,25或12,36。
D
)A.10,25；
B.10,36或12,36；
C.12,36；
D.10,25或12,36。
答案：
D
3. 如图,5个同样大小的正方形拼成一个长方形,求$\angle ABC+\angle ADC+\angle ACB$的度数。
答案：
解：设每个小正方形的边长为1，
由勾股定理得：$AC=\sqrt {2}，$$AD=\sqrt {5}，$$AB=\sqrt {10}，$
又
∵DC=1，BD=5，
∴$\frac {AD}{BD}=\frac {\sqrt{5}}{5}，$$\frac {AC}{AB}=\frac {\sqrt{5}}{5}，$
$ \frac {CD}{AD}=\frac {\sqrt{5}}{5}$
∴$\frac {AD}{BD}=\frac {AC}{AB}=\frac {CD}{AD}，$
∴△ADC∽△BDA，
∴∠DAC=∠ABD，
∵∠ACB=45°，
∴∠ACB=∠DAC+∠ADB=45°，
∴∠ABC+∠ADC+∠ACB=90°．
由勾股定理得：$AC=\sqrt {2}，$$AD=\sqrt {5}，$$AB=\sqrt {10}，$
又
∵DC=1，BD=5，
∴$\frac {AD}{BD}=\frac {\sqrt{5}}{5}，$$\frac {AC}{AB}=\frac {\sqrt{5}}{5}，$
$ \frac {CD}{AD}=\frac {\sqrt{5}}{5}$
∴$\frac {AD}{BD}=\frac {AC}{AB}=\frac {CD}{AD}，$
∴△ADC∽△BDA，
∴∠DAC=∠ABD，
∵∠ACB=45°，
∴∠ACB=∠DAC+∠ADB=45°，
∴∠ABC+∠ADC+∠ACB=90°．
4. 如图,已知点P在等边三角形ABC的边BC的延长线上,$\angle PAQ= 120^\circ$,射线AQ与CB的延长线交于点Q。那么△ABQ与△PCA是否相似？为什么？
答案：
解：△ABQ与△PCA相似，理由如下：
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
∴∠ABQ=∠ACP=180°-60°=120°.
∵∠PAQ=120°，
∴∠QAB+∠PAC=∠PAQ-∠BAC=60°.
∵∠ABC=∠Q+∠QAB=60°，
∴∠Q=∠PAC，
∴△ABQ与△PCA相似.
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
∴∠ABQ=∠ACP=180°-60°=120°.
∵∠PAQ=120°，
∴∠QAB+∠PAC=∠PAQ-∠BAC=60°.
∵∠ABC=∠Q+∠QAB=60°，
∴∠Q=∠PAC，
∴△ABQ与△PCA相似.
5. 如图,已知梯形ABCD中,$AD// BC$,对角线AC与BD相交于点O,$S_{\triangle AOD}= 9$,$S_{\triangle BOC}= 16$。求$S_{梯形ABCD}$。
答案：
解：
∵AD//BC，
∴△AOD∽△COB，
∴$\frac {S_{△AOD}}{S_{△COB}}=\frac {9}{16}，$
∴$\frac {OA}{OC}=\frac {3}{4}，$
∵$\frac {S_{△AOD}}{S_{△DOC}}=\frac {OA}{OC}=\frac {3}{4}，$
∴S_{△DOC}=12，
∴S_{△AOB}=S_{△DOC}=12，
∴梯形ABCD的面积=S_{△DOC}+S_{△AOB}+S_{△COB}+S_{△AOD}=9+12+12+16=49．
∵AD//BC，
∴△AOD∽△COB，
∴$\frac {S_{△AOD}}{S_{△COB}}=\frac {9}{16}，$
∴$\frac {OA}{OC}=\frac {3}{4}，$
∵$\frac {S_{△AOD}}{S_{△DOC}}=\frac {OA}{OC}=\frac {3}{4}，$
∴S_{△DOC}=12，
∴S_{△AOB}=S_{△DOC}=12，
∴梯形ABCD的面积=S_{△DOC}+S_{△AOB}+S_{△COB}+S_{△AOD}=9+12+12+16=49．
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