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5. 如图,竖立在点 B 处的标杆$AB= 2.5$米,某观察者站立在点 F 处,从点 E 处看到杆顶 A、树顶 C 在一直线上(点 F、B、D 也在一直线上).已知$BD= 4.4$米,$FB= 2.2$米,人的眼睛离地面的距离$EF= 1.5$米,求树高.
答案：
由已知得EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD，
则四边形EFDH、四边形EFGB和四边形GBDH都是矩形，
∴EF=GB=DH=1.5米，EG=FB=2.2米，GH=BD=4.4米，
∴AG=AB-GB=2.5-1.5=1米，
∵EH⊥CD，EH⊥AB，
∴AG∥CH，
∴△AEG∽△CEH，
∴$\frac {AG}{CH}=\frac {FG}{EH}，$
∵EH=EG+GH=6.6米，
∴$CH=\frac {AG×EH}{EG}=3，$
∴CD=CH+HD=3+1.5=4.5米，
答：树高为4.5米.
由已知得EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD，
则四边形EFDH、四边形EFGB和四边形GBDH都是矩形，
∴EF=GB=DH=1.5米，EG=FB=2.2米，GH=BD=4.4米，
∴AG=AB-GB=2.5-1.5=1米，
∵EH⊥CD，EH⊥AB，
∴AG∥CH，
∴△AEG∽△CEH，
∴$\frac {AG}{CH}=\frac {FG}{EH}，$
∵EH=EG+GH=6.6米，
∴$CH=\frac {AG×EH}{EG}=3，$
∴CD=CH+HD=3+1.5=4.5米，
答：树高为4.5米.
6. 如图,已知点 D、E、F 分别在$\triangle ABC$的边 AB、AC、BC 上,$DE// BC$、$DF// AC$,$AE= 6$,$CE= 8$.求$BF:FC$的值.
答案：
解：
∵DE//BC，
∴AD：BD=AE：EC=6：8=3：4，
∵DF//AC，
∴BF：FC=BD：DA=4：3．
∵DE//BC，
∴AD：BD=AE：EC=6：8=3：4，
∵DF//AC，
∴BF：FC=BD：DA=4：3．
7. 已知：如图,M 是平行四边形 ABCD 的对角线 BD 上的一点,射线 AM 与 BC 交于点 F,与 DC 的延长线交于点 H.求证：$AM^2= MF\cdot MH$.
答案：
证明：因为四边形ABCD是平行四边形
所以AD//BC.AB//CD
所以△ADM∽△FBM，△DMH∽△BMA
所以$\frac {DM}{BM}=\frac {AM}{FM}，$$\frac {DM}{BM}=\frac {HM}{AM}$
所以$\frac {AM}{FM}=\frac {HM}{AM}$
所以AM²=MF×MH
所以AD//BC.AB//CD
所以△ADM∽△FBM，△DMH∽△BMA
所以$\frac {DM}{BM}=\frac {AM}{FM}，$$\frac {DM}{BM}=\frac {HM}{AM}$
所以$\frac {AM}{FM}=\frac {HM}{AM}$
所以AM²=MF×MH
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