《2025年练习部分九年级数学上册沪教版54制》

3. 已知$2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}= -2\overrightarrow{e}$,$3\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b}= 2\overrightarrow{e}$,那么向量$\overrightarrow{a}与\overrightarrow{b}$是否平行?

答案： 解：由题意可得：$2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=-3\overrightarrow{a}+5\overrightarrow{b}$
所以$5\overrightarrow{a}=4\overrightarrow{b}$
所以$\overrightarrow{a}=\frac {4}{5}\overrightarrow{b}$
所以$\overrightarrow{a}//\overrightarrow{b}$

4. 设$\overrightarrow{a}与\overrightarrow{b}$是两个不平行的向量,用几何作图方法验证:$\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})= \overrightarrow{a}$.

答案：
解：如图：

$ \frac {1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=\overrightarrow{AO}$
$ \frac {1}{2}(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})=\overrightarrow{OB}，$
$ \overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{a}$
∴$\frac {1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\frac {1}{2}(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})=\overrightarrow{a}．$

5. 如图,已知四边形$ABCD$,$E、F、G、H$分别为各边的中点.

(1)用向量$\overrightarrow{AB}、\overrightarrow{AD}表示向量\overrightarrow{EF}$,用向量$\overrightarrow{CB}、\overrightarrow{CD}表示向量\overrightarrow{HG}$.
(2)由$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}= \overrightarrow{DB}$,$\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CD}= \overrightarrow{DB}$,可推出向量$\overrightarrow{EF}与\overrightarrow{HG}$相等吗? 可知四边形$EFGH$是平行四边形吗? 说明你的结论及理由.

答案： 解：
(1)因为E，F分别是AD，AB的中点
所以EF//DB且$EF=\frac {1}{2}DB$
所以$\overrightarrow{EF}=\frac {1}{2}\overrightarrow{DB}$
$ =\frac {1}{2}(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD})$
$ =\frac {1}{2}\overrightarrow{AB}-\frac {1}{2}\overrightarrow{AD}$
所以$\overrightarrow{HG}=\frac {1}{2}\overrightarrow{DB}=\frac {1}{2}(\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CD})$
$ =\frac {1}{2}\overrightarrow{CB}-\frac {1}{2}\overrightarrow{CD}.$
(2)因为$\overrightarrow{EF}=\frac {1}{2}\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{HG}$
所以EF//HG，且EF=HG
所以四边形EFGH是平行四边形.