《2025年练习部分九年级数学上册沪教版54制》

1. 已知 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle C= 90^\circ$,$\tan A= \frac{4}{3}$. 你能否求出 $\sin A$ 和 $\cos B$ 的值？

答案： 解：因为在 Rt△ABC中，$tanA=\frac {4}{3}$
所以设BC=4x，AC=3x
所以$AB=\sqrt{AC²+BC²}=5x$
$ sinA=\frac {BC}{AB}=\frac {4x}{5x}=\frac {4}{5}$
$ cosB=\frac {BC}{AB}=\frac {4x}{5x}=\frac {4}{5}$

2. 如图,图中提供了一种求 $\tan 15^\circ$ 的方法. 阅读并填空：
先作 $Rt\triangle ABC$,其中 $\angle C= 90^\circ$,$\angle ABC= 30^\circ$；然后延长 $CB$ 到点 $D$,使 $BD= AB$,联结 $AD$.
(1)$\angle D=$15°.
(2)设 $AC= t$,那么 $BC=$$\sqrt{3}t$(用 $t$ 的代数式表示,以下同),$BD=$2t.
(3)$\tan 15^\circ=$$2-\sqrt{3}$.

答案： 15°
$\sqrt{3}t$
2t
$2-\sqrt{3}$

3. 如图,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle C= 90^\circ$,$\angle ABC= 30^\circ$,$BD$ 是 $\triangle ABC$ 的角平分线,求 $\tan 15^\circ$ 的值.(提示：过点 $D$ 作 $DE \perp AB$,垂足为点 $E$)

答案：
解：设AC=a，
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，
∵$tan∠ABC=\frac {AC}{BC}，$
∴$BC=\frac {a}{tan{30}°}=\sqrt{3}a.$
过点D作DE⊥AB．垂足为点E，如图，

∵BD是△ABC角平分线，
∴DE=DC，∠DBC=15°.
设CD=x，则DE=x，AD=a-x，
在Rt△ADE，
∵$sinA=\frac {DE}{AD}=sin{60}°=\frac {\sqrt{3}}{2}，$
∴$DE=\frac {\sqrt{3}}{2}AD，$即$x=\frac {\sqrt{3}}{2}(a-x)，$
∴$x=\frac {\sqrt{3}a}{2+\sqrt{3}}，$
在Rt△BDC中，$tan∠DBC=\frac {DC}{BC}=\frac {\frac {\sqrt{3}a}{2+\sqrt{3}}}{\sqrt{3}a}=\frac {1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}，$
即$tan{15}°=2-\sqrt{3}．$