《2025年练习部分九年级数学上册沪教版54制》

2. 已知$\triangle ABC \backsim \triangle A_1B_1C_1$,顶点A、B、C分别与$A_1$、$B_1$、$C_1$对应,$AC= 12$厘米,$A_1C_1= 8$厘米,$\triangle ABC$的高AD为6厘米.求$\triangle A_1B_1C_1的高A_1D_1$.

答案：
解：
∵$△ABC∽△A_{1}B_1C_1$

∴$\frac {AC}{{A}_1{C}_1}=\frac {AD}{{A}_1{D}_1}.$
又
∵AC=12厘米，$A_1C_1=8$厘米，AD=6厘米，

∴$A_1D_1=6÷\frac {12}{8}=4($厘米).

3. 求证:相似三角形对应中线的比等于相似比.

答案：
已知：如图，已知$△ABC∽△A_1B_1C_1，$顶点A、B、C分别与$A_1、$$B_1、$$C_1$对应，
△ABC和$△A_1B_1C_1$的相似比为k，AD、$A_1D_1$分别是△ABC和$△A_1B_1C_1$的中线．
求证：$\frac {AD}{A_1D_1}=k．$
证明：
∵$△ABC∽△A_1B_1C_1，$顶点A、B、C分别与$A_1、$$B_1、$$C_1$对应，

∴$∠B=∠B_1，$$BC=B_1C_1，$
∵AD、$A_1D_1$分别是△ABC，$△A_1B_1C_1$的中线，
∴$BD=\frac {1}{2}BC，$$B_1D_1=\frac {1}{2}B_1C_1，$
∴$BD=B_1D_1，$
∴$△ABD∽△A_1B_1D_1，$
∴$\frac {AD}{A_1D_1}=\frac {AB}{A_1B_1}，$
∴$\frac {AD}{A_1D_1}=k．$

4. 已知:如图,$\triangle ABC \backsim \triangle A_1B_1C_1$,顶点A、B、C分别与$A_1$、$B_1$、$C_1$对应,点D、$D_1$分别在边BC、$B_1C_1$上,且$BD= \frac{1}{3}DC$,$B_1D_1= \frac{1}{3}D_1C_1$.

求证:$\frac{AD}{A_1D_1}= \frac{AB}{A_1B_1}$.

答案： 证明：
∵△ABC∽△A_{1}B_{1}C_{1}
∴$∠B=∠B_1，$$\frac {AB}{{A}_1{B}_1}=\frac {BC}{{B}_1{C}_1}.$
∵$BD=\frac {1}{3}DC，$$B_1D_1=\frac {1}{3}D_1C_1，$
∴BC=4BD，$B_1C_1=4B_1D_1，$
∴$\frac {BC}{{B}_1{C}_1}=\frac {BD}{{B}_1{D}_1}=\frac {AB}{{A}_1{B}_1}.$
∵$∠B=∠B_1，$
∴$△ABD∽△A_1B_1D_1，$
∴$\frac {AD}{{A}_1{D}_1}=\frac {AB}{{A}_1{B}_1}.$