《2025年新课程问题解决导学方案七年级数学上册华师大版》

计算$(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4})×(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5})-(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5})×(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4})$时,若把$(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5})与(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4})$分别看作一个整体,再利用分配律进行运算,可以大大简化计算难度。过程如下：
解：设$(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4})为A$,$(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5})为B$,则
原式$=B(1+A)-A(1+B)= B+AB-A-AB= B-A= \dfrac{1}{5}$。
这里体现的是数学中的“整体思想”。
请用上面的方法计算：
$(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6})×(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{7})-(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{7})×(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6})$。

答案： 设$(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6})$为A,$(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7})$为B,则
原式$=(1+A)B-(1+B)A=B+AB-A-AB$
$=B-A=\frac{1}{7}.$

1. 在下列括号内填上每步运算所依据的运算律：
(1)$9.89×(-2.5)×4$
$=9.89×[(-2.5)×4]$。(______)
(2)$18×(-\dfrac{4}{5})×(-\dfrac{1}{6})$
$=18×(-\dfrac{1}{6})×(-\dfrac{4}{5})$。(______)
(3)$29\dfrac{4}{5}×(-10)$
$=29×(-10)+\dfrac{4}{5}×(-10)$。(______)
(4)$32×99\dfrac{7}{8}$
$=32×100-32×\dfrac{1}{8}$。(______)

答案：
(1)乘法结合律
(2)乘法交换律
(3)乘法分配律
(4)乘法分配律

2. 计算：$-\dfrac{4}{5}×(10-1\dfrac{1}{4}+0.5)= -8+1-0.4$时,应用了( )

A.加法结合律
B.乘法结合律
C.乘法交换律
D.乘法分配律

答案： D

3. 算式$(-3\dfrac{3}{4})×4$可以化为( )

A.$-3×4-\dfrac{3}{4}×4$
B.$-3×4+3$
C.$-3×4+\dfrac{3}{4}×4$
D.$-3×3-3$

答案： A