《2025年新课程问题解决导学方案七年级数学上册华师大版》

10. 如图,已知 $ D $ 是线段 $ AB $ 上一点,$ C $ 是线段 $ AB $ 的中点,若 $ AB = 10\ cm $,$ BD = 4\ cm $。

(1) 求线段 $ CD $ 的长。
(2) 若 $ E $ 是线段 $ AB $ 上一点,且 $ BE = \frac{1}{2}BD $,求线段 $ AE $ 的长。

答案：
(1)
∵ C是线段AB的中点,
∴ BC = $\frac{1}{2}$AB = 5cm.
∴ CD = BC - BD = 5 - 4 = 1(cm).
(2) 如图:ACDEB
∵ BE = $\frac{1}{2}$BD = 2cm,
∴ AE = AB - BE = 10 - 2 = 8(cm).

11. 如图,$ P $ 是线段 $ AB $ 上任意一点,$ AB = 12\ cm $,$ C $,$ D $ 两点分别从 $ P $,$ B $ 两点同时向点 $ A $ 运动,且点 $ C $ 的运动速度为 $ 2\ cm/s $,点 $ D $ 的运动速度为 $ 3\ cm/s $,运动的时间为 $ t\ s $。

(1) 若 $ AP = 8\ cm $。
① 运动 $ 1\ s $ 后,求 $ CD $ 的长；
② 当点 $ D $ 在线段 $ PB $ 上运动时,试说明 $ AC = 2CD $。
(2) 当 $ t = 2 $ 时,$ CD = 1\ cm $,直接写出 $ AP $ 的值是______。

答案：
(1) ①根据题意,得CP = 2×1 = 2(cm),DB = 3×1 = 3(cm).
∵ AP = 8cm,AB = 12cm,
∴ PB = AB - AP = 4cm.
∴ CD = CP + PB - DB = 2 + 4 - 3 = 3(cm). ②
∵ AP = 8,AB = 12,
∴ BP = 4,AC = 8 - 2t,
∴ DP = 4 - 3t,CP = 2t.
∴ CD = CP + DP = 2t + 4 - 3t = 4 - t,
∴ AC = 2CD.
(2) 9cm或11cm

12. 已知 $ C $ 为线段 $ AB $ 上一点,线段 $ AC = 8\ cm $,$ BC = 6\ cm $,$ M $,$ N $ 分别为线段 $ AC $,$ BC $ 的中点。
(1) 求线段 $ MN $ 的长。
(2) 若 $ C $ 为线段 $ AB $ 上任意一点,满足 $ AC + CB = a\ cm $,其他条件不变,你能猜测 $ MN $ 的长度吗？请说明理由,并用一句话描述你发现的结论。

答案：
(1)
∵ M,N分别是线段AC,BC的中点,
∴ MC = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}$×8 = 4(cm),NC = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$×6 = 3(cm).
∴ MN = MC + NC = 4 + 3 = 7(cm).
(2)
∵ M,N分别是线段AC,BC的中点,
∴ MC = $\frac{1}{2}$AC,NC = $\frac{1}{2}$BC,
∴ MN = MC + NC = $\frac{1}{2}$AC + $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$(AC + BC).
∵ AC + BC = acm,
∴ MN = $\frac{1}{2}$acm.结论:一条线段被分成两条线段,这两条线段的中点构成的线段等于这条线段长度的一半.