《2025年万唯中考情境题八年级数学上册苏科版》

6. 如图,在 $ \mathrm{Rt} \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^\circ $,$ AB = 5 \mathrm{cm} $,$ AC = 3 \mathrm{cm} $,动点 $ P $ 从点 $ B $ 出发以 $ 1 \mathrm{cm/s} $ 的速度沿 $ BC $ 向点 $ C $ 运动,到点 $ C $ 时停止运动。设运动的时间为 $ t \mathrm{s} $,当 $ \triangle ABP $ 为等腰三角形时,$ t $ 的值为$\frac{25}{8}$。

答案： $\frac{25}{8}$

7. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ D $ 是 $ BC $ 的中点,过点 $ D $ 作 $ DE \perp BC $,垂足为点 $ D $,$ DE $ 交 $ AB $ 于点 $ E $,且 $ AC^2 = BE^2 - AE^2 $。
(1) 求证：$ \angle A = 90^\circ $；
(2) 若 $ DE = 6 $,$ BD = 8 $,求 $ AE $ 的长。

答案：

(1)证明:如第7题解图,连接 CE.
∵ 点 D 是 BC 的中点,DE⊥BC,
∴ BE=CE.
∵ $AC^{2}=BE^{2}-AE^{2}$,
∴ $AC^{2}=CE^{2}-AE^{2}$,即 $AE^{2}+AC^{2}=CE^{2}$.
∴ △ACE 是直角三角形,且 CE 为斜边.
∴ ∠A=90°;
(2)解:在 Rt△BDE 中,DE=6,BD=8,由勾股定理可得 $BE^{2}=DE^{2}+BD^{2}=6^{2}+8^{2}=100$,
∴ BE=10(负值已舍去).
CE=BE=10.
设 AE=x,则 $AC^{2}=BE^{2}-AE^{2}=100-x^{2}$.
在 Rt△ABC 中,由勾股定理可得 $AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$,
∵ D 为 BC 的中点,BD=8,
∴ BC=2BD=16,
∴ $(10+x)^{2}+100-x^{2}=16^{2}$,解得 $x=\frac{14}{5}$.
∴ $AE=\frac{14}{5}$.

8. 电脑放置在桌面的示意图如图所示,当屏幕的张角为 $ \angle AOB $ 时,顶部边缘 $ A $ 处离桌面的高度 $ AC $ 为 $ 7 \mathrm{cm} $,此时底部边缘 $ O $ 处与 $ C $ 处之间的距离 $ OC $ 为 $ 24 \mathrm{cm} $；由于用眼舒适度不太理想,调整张角大小为 $ \angle A'OB $,此时底部边缘 $ O $ 处与 $ D $ 处之间的距离 $ OD $ 为 $ 15 \mathrm{cm} $,则顶部边缘 $ A' $ 处到桌面的距离 $ A'D $ 的长为20$\mathrm{cm} $。

答案： 20

9. 如图,在边长为 4 的正方形 $ ABCD $ 中,$ E $ 是 $ AB $ 边上的点,且 $ AE = 3 $,点 $ Q $ 为对角线 $ AC $ 上一点,连接 $ DQ $,$ EQ $。则 $ DQ + QE $ 的最小值为5。

答案： 5

10. 在修缮城墙的过程中,将一台宽 $ 7.2 \mathrm{m} $,高 $ 4.8 \mathrm{m} $ 的工程车开到城墙另一面,需要穿过一个半圆形门洞,其示意图如图所示,已知城墙门洞的半径为 $ 6.2 \mathrm{m} $,则该工程车能通过门洞正常施工(填“能”或“不能”)。

答案： 能

11. 如图,在 $ \mathrm{Rt} \triangle ABC $ 中,$ \angle ABC = 90^\circ $,$ AB = 6 $,$ BC = 8 $,将 $ \triangle ABC $ 沿 $ AD $ 翻折,使点 $ C $ 落在 $ AB $ 延长线上的点 $ C' $ 处,则 $ \triangle ABD $ 的面积为 9。

答案： 9

12. 如图是一个圆柱形容器,容器高为 $ 120 \mathrm{cm} $,底面周长为 $ 100 \mathrm{cm} $,在容器内壁离容器底部 $ 30 \mathrm{cm} $ 的点 $ B $ 处有一只蚊子,此时,一只壁虎正好在容器外壁,离容器上沿 $ 30 \mathrm{cm} $ 且与蚊子相对的点 $ A $ 处,则壁虎若想捕捉蚊子需要爬行的最短路程为130$\mathrm{cm}$(容器壁厚忽略不计)。

答案： 130

13. 王爷爷家有一片露天鱼池,为避免太阳直射,王爷爷在鱼池上方搭建了遮阳网。如图,鱼池的截面呈长方形,$ B $ 点到 $ C $ 点的距离为 $ 12 \mathrm{m} $,池子正中央的支撑杆 $ OA $ 高出 $ BC $ $ 4 \mathrm{m} $,$ AB $,$ AC $ 为同样大小的遮阳网,一根与 $ OA $ 长度大小均相同的支撑杆 $ OD $ 斜放在池内,且 $ BD = 2 \mathrm{m} $。求支撑杆 $ OA $ 的长。

答案：
解:如第13题解图,过点 B 作 BE⊥AO 于点 E,
∵ AB=AC,点 B 到点 C 的距离为 12 m,
∴ BE=6 m,
∵ 池子正中央的支撑杆 OA 高出 BC 有 4 m,
∴ AE=4 m,
设 OA=OD=x m,
∵ BD=2 m,
∴ OB=OD-BD=(x-2)m,OE=OA-AE=(x-4)m,
在 Rt△OBE 中,$OB^{2}=BE^{2}+OE^{2}$,
即 $(x-2)^{2}=6^{2}+(x-4)^{2}$,
解得 x=12,
答:支撑杆 OA 的长是 12 m.