《2025年万唯中考情境题八年级数学上册苏科版》

1.(教材习题第 4 题改编)如图,用四个完全相同的直角三角形拼成一大一小两个正方形(如图).

(1)大正方形的边长为$a+b$,小正方形的边长为$c$;
(2)大正方形的面积可以表示为$(a+b)^{2}$,也可以表示为$2ab+c^{2}$;
(3)观察两种表示方法,可得出$(a+b)^{2}=2ab+c^{2}$,整理得$a^{2}+b^{2}=c^{2}$,从而验证勾股定理;

答案： 解:
(1)$a+b$;$c$;
(2)$(a+b)^{2}$;$2ab+c^{2}$;
(3)$(a+b)^{2}=2ab+c^{2}$;$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.

2.(教材阅读改编)如图,在 Rt△ABC 的外侧,以各边为边长分别作正方形 ABED,BCKH,ACFG,连接 CE,AH,已知直角边长分别为 b,c,斜边长为 a,下面是小明证明勾股定理的方法.
(1)求证:△EBC≌△ABH;

(2)在(1)的结论下,请将下面的过程补充完整.
证明:如图,过点 A 作 AN⊥HK 于点 N,交 BC 于点 M,
∵△EBC≌△ABH,
∴S_{△EBC}= S_{△ABH},
∵正方形 ABED 与△EBC 同底等高,长方形 BHNM 与△ABH 同底等高,
∴S_{正方形ABED}= 2S_{△EBC},S_{长方形BHNM}= 2S_{△ABH},
∴S_{正方形ABED}= S_{长方形BHNM},
同理可得,S_{正方形ACFG}= S_{长方形MNKC},
∴S_{正方形BHCK}= S_{长方形MNKC}+S_{长方形BHNM}= S_{正方形ACFG}+S_{正方形ABED},
即 a^{2}= b^{2}+c^{2}.

答案：
(1)证明:由题意知,$AB=EB$,$BH=BC$,$\angle CBH=\angle ABE=90^{\circ}$,
$\therefore \angle CBH+\angle ABC=\angle ABE+\angle ABC$,
$\therefore \angle ABH=\angle EBC$.
在$\triangle EBC$和$\triangle ABH$中,$\left\{\begin{array}{l} EB=AB,\\ \angle EBC=\angle ABH,\\ BC=BH,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle EBC\cong \triangle ABH(\text{SAS})$;
(2)解:$2S_{\triangle ABH}$;$S_{\text{长方形}BHNM}$.

3.将两张一样的纸片①②按如图①所示的方式拼接,连接 BE,CF 交于点 G,正方形 ABGF 和正方形 GCDE 的边长分别为 a,b,BC= FE= c,再将这两张纸片按照如图②所示的方式拼接,连接 B_{1}F_{1},C_{1}E_{1},正方形 B_{1}C_{1}E_{1}F_{1}的边长为 c,A_{1}B_{1}= D_{1}E_{1}= a,A_{1}F_{1}= C_{1}D_{1}= b,请你用面积法推导恒等式的方法证明勾股定理.

答案： 证明:由题图①可得,空白部分面积=正方形$ABGF$和正方形$GCDE$的面积+$\triangle BCG$和$\triangle EFG$的面积,
$\therefore S_{\text{空白部分}}=a^{2}+b^{2}+\frac {1}{2}ab+\frac {1}{2}ab=a^{2}+b^{2}+ab$.
由题图②可得,空白部分面积=正方形$B_{1}C_{1}E_{1}F_{1}$的面积+$\triangle A_{1}B_{1}F_{1}$和$\triangle C_{1}D_{1}E_{1}$的面积,
$\therefore S_{\text{空白部分}}=c^{2}+\frac {1}{2}ab+\frac {1}{2}ab=c^{2}+ab$.
$\because$ 题图①空白部分的面积=题图②空白部分的面积,
$\therefore a^{2}+b^{2}+ab=c^{2}+ab$.
$\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2}$.