《2025年万唯中考情境题八年级数学上册苏科版》

1. 如图,A,B两个小镇在河流的同侧,现需要在河边l上修建一个自来水厂P分别向两个小镇供水.为了使所用水管最短,则下列选项中自来水厂P的修建位置合理的是(B)

答案： B

2. 在军营A和军营B之间有一条河流,河岸m平行于河岸n,为了行军方便,将军决定在河流上建造一座桥PQ,使得A,B两个军营间的行走路径最短(桥梁垂直于河岸建造),如图为将军在沙盘上所画的示意图,已知AP//BQ,AC= PQ,AC⊥m,则此示意图是正确的(填“正确”或“不正确”).

答案： 正确【解析】:桥梁垂直于河岸建造且平行线间的距离处处相等，
∴求AP+PQ+QB长度最短可转化为求AP+QB长度最短,过点A作AC⊥m,并且使得AC=PQ,连接BC交河岸n于点Q,过点Q作QP垂直m,交m于点P,PQ即为桥梁位置,即原示意图正确.

3. 数学文化情境《淮南万毕术》西汉初年成书的《淮南万毕术》中对潜望镜有这样的记载:“取大镜高悬,悬水盆于其下,则见四邻矣”.如图①所示,其工作方法主要利用了光的反射原理,在图②中,AB呈水平状态,OM为大镜杆,入射角∠BOC= 30°,∠OAD= 15°(反射角等于入射角,OC,AD为法线),若BM= 14.2m,OM⊥AB,则大镜杆OM的高度为14.2m.

答案： 14.2【解析】由题意可得∠AOC=∠BOC=30°,
∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=60°.
∵AD⊥AB,OM⊥AB,∠OAD=15°,
∴OM//AD,∠OAB=∠DAB - ∠DAO=75°.
∴∠AOM=∠OAD=15°,∠B=180° - ∠AOB - ∠OAB=45°.
∴△OMB为等腰直角三角形.
∴OM=BM=14.2 m.

4. 请阅读下列材料,完成相应的任务:
古希腊数学家海伦在研究中发现光在镜面反射中的角度关系——反射角等于入射角,同时还发现光在镜面反射中总是走最短路径,下面是这两个结论的部分证明过程.
已知:如图①,直线AB代表平面镜,点C代表一实物,点D代表眼睛.作实物C关于平面镜AB的对称点C',连接C'D,交平面镜AB于点E,连接CE,则CE为入射光线,ED为反射光线.
(1)请按照上面的证明思路,求证:CE+DE最短;
(2)如图②,村庄P在两条相交的公路AB和BC之间,两条公路的夹角∠ABC= 30°,村口与两条公路的交点的距离BP为2000米,村委会决定在两条公路AB,BC上分别设置路口M,N,形成三条路PN,PM,MN,为节约修路费用,求这三条路之和的最小值.

答案：
4.
(1)证明:如解图①,在平面镜AB上任意找与点E不重合的一点E',连接DE',CE',C'E',在△C'DE'中,C'E'+DE'＞C'D.
∵实物C与点C'关于平面镜AB对称,
∴AB垂直平分CC',
∴CE=C'E,CE'=C'E'.
∵C'D=C'E+DE,C'E'+DE'＞C'D,
∴CE'+DE'＞CE+DE,
∴CE+DE最短;
(2)解:如解图②,分别作点P关于AB,BC的对称点D,E,连接DE交AB于点M,交BC于点N,连接DB,BE,由对称性可知,DM=MP,PN=NE,BD=BP=BE,
∴MP+PN+MN=DM+MN+NE=DE.此时△PMN的周长最小,最小值为DE的长.
∵∠DBA=∠ABP,∠PBC=∠CBE,
∴∠DBE=2∠ABC.
∵∠ABC=30°,
∴∠DBE=60°,
∴△DBE是等边三角形,
∴DE=BD=BP=2000米,
∴△PMN周长的最小值为2000米,
∴三条路之和的最小值为2000米.