《2025年万唯中考情境题八年级数学上册苏科版》

【落实 2022 年版课标对综合与实践要求】
【作业目的】通过折纸操作,将抽象的几何概念如垂直平分线、垂线、中点等转化为直观的视觉和触觉体验。在实践过程中,学生需要将理论知识应用到实际操作中,促使学生综合运用所学知识解决问题,加深对知识之间联系的理解,构建完整的知识体系。
【探究过程】活动一：折纸找特殊线
操作任务：拿出一张三角形纸片 ABC,尝试按照以下操作进行折纸；
(1)找线段的垂直平分线：如图①,折叠三角形纸片 ABC,使得点 B,C 均与点 A 重合,仔细观察得到的折痕 DD',EE'所在直线,思考它们与线段 AB、AC 的关系,并记录下来；
(2)过线段外一点作已知线段的垂线：如图②,分别过 AB 边,AC 边一点 D,E 折叠三角形纸片 ABC,使得点 B,C 均落在边 BC 上且重合,观察折痕$ DD_1,EE_1$所在直线,思考它们与 BC 边的位置关系,并做好记录；
问题探究：完成上述操作后,沿 DE 所在直线折叠三角形纸片 ABC,得到折痕 DE,然后把纸片展平,根据图①,完成下列思考：
思考 1：测量 DE 与 BC 的长度,尝试找出 DE 与 BC 的数量关系,它们的数量关系是______$DE = \frac{1}{2}BC$；
思考 2：利用直尺和三角板,判断 DE 与 BC 的位置关系,它们的位置关系是______$DE// BC$；
活动二：折纸拼接与周长比较
操作任务：如图③,拿出另一张三角形纸片,通过类似之前找线段垂直平分线的操作找到 AB 边的中点 D,AC 边的中点 E,接着分别过点 D,E 折叠三角形纸片 ABC,使得点 B,C 均落在边 BC 上,得到折痕$ DD_2,EE_2。$然后沿着折痕$ DD_2,EE_2$裁剪三角形纸片 ABC,将位置 1 的三角形拼到位置 3,将位置 2 的三角形拼到位置 4,拼接成长方形$ D_2E_2E_3D_3；$
问题探究：思考 3：如图③,分别测量△ABC 的三条边长度,计算出△ABC 的周长；再测量长方形$ D_2E_2E_3D_3$的四条边长度,计算出长方形的周长。比较△ABC 周长和长方形$ D_2E_2E_3D_3$周长的大小,你发现了什么？请说明理由；

解：$\triangle ABC$的周长大于长方形$D_2E_2E_3D_3$的周长。理由：由折叠可知$AD = BD_2$，$AE = CE_2$，$DD_2$垂直平分$AB$，$EE_2$垂直平分$AC$，$DE$是$\triangle ABC$的中位线。$\triangle ABC$的周长为$AB + AC + BC$，长方形$D_2E_2E_3D_3$的周长为$2(D_2E_2 + D_2D_3)$。因为$D_2E_2=\frac{1}{2}BC$，$D_2D_3=\frac{1}{2}(AD + AE)$，且$AB = AD + BD_2 = 2AD$，$AC = AE + CE_2 = 2AE$，所以$\triangle ABC$的周长$AB + AC + BC = 2AD + 2AE + 2D_2E_2$，长方形$D_2E_2E_3D_3$的周长$2(D_2E_2 + D_2D_3)=2(D_2E_2 + \frac{1}{2}(AD + AE)) = 2D_2E_2 + AD + AE$。因此$\triangle ABC$的周长大于长方形$D_2E_2E_3D_3$的周长。
【拓展应用】活动三：等腰三角形的特殊应用
操作任务：已知等腰△OPQ,OP = OQ = 5,PQ = 6,尝试按照活动二中的操作方法,对等腰△OPQ 进行操作,得到对应的长方形；
问题探究：思考 4：不通过实际测量,运用所学的几何知识,直接计算出得到的长方形的周长,长方形的周长为______14。

答案： 思考1：DE = $\frac{1}{2}$BC
思考2：DE // BC
思考3：△ABC的周长大于长方形$D_2E_2E_3D_3$的周长。理由：设△ABC中BC = a，AB = c，AC = b，D、E为中点，由中位线性质得DE = $\frac{1}{2}$a。折叠后长方形的长为$D_2E_2 = a - (BD_2 + CE_2)$，宽为折叠高度h。由折叠性质知BD₂ = $\frac{1}{2}$BD，CE₂ = $\frac{1}{2}$CE，且BD = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{c}{2}$，CE = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{b}{2}$，故$D_2E_2 = a - (\frac{c}{4} + \frac{b}{4})$。长方形周长 = 2($D_2E_2 + h$)，而△ABC周长 = a + b + c，显然a + b + c ＞ 2($D_2E_2 + h$)。
思考4：14