《2025年万唯中考情境题八年级数学上册苏科版》

1. 下列各组数,是勾股数的是 (B)
A.$0.3$,$0.4$,$0.5$
B.$6$,$8$,$10$
C.$\frac{1}{3}$,$\frac{1}{4}$,$\frac{1}{5}$
D.$1$,$\sqrt{2}$,$3$

答案： B

2. 观察下列几组勾股数的组成特点,并填空：① $3$,$4$,$5$；② $6$,$8$,$10$；③ $9$,$12$,$15$；…,则第⑥组勾股数为______18,24,30.

答案： 18,24,30

3. 如下表是古希腊的柏拉图和我国古代数学著作《九章算术》分别给出的勾股数公式：
|柏拉图|如果$m表示大于1$的整数,$a = 2m$,$b = m^{2}-1$,$c = m^{2}+1$,那么$a$,$b$,$c$为勾股数.|
|《九章算术》|$a= \frac{1}{2}(m^{2}-n^{2})$,$b = mn$,$c= \frac{1}{2}(m^{2}+n^{2})$,其中$m＞n＞0$,$m$,$n$是互质的奇数(注：$a$,$b$,$c$的相同倍数组成的一组数也是勾股数).|

(1)小明查阅资料发现柏拉图公式存在缺陷,试写出一组柏拉图公式无法构造的勾股数：______5,12,13；
(2)根据《九章算术》中的记载,当$m = 5$,$n = 3$时,这组勾股数为______8,15,17.

答案： 解:
(1)5,12,13(答案不唯一);
(2)8,15,17

【阅读材料】已知直角三角形的两条直角边长为$a$,$b$,斜边长为$c$,将满足$a^{2}+b^{2}= c^{2}$的一组正整数称为“勾股数组”,记为$(a,b,c)$,其中$a\leqslant b＜c$. 事实上,早在公元前十一世纪,中国古代数学家商高就发现了“勾三、股四、弦五”,我们将其简记为$(3,4,5)$. 类似的勾股数组还有很多……,例如：$(5,12,13)$,$(7,24,25)$,$(9,40,41)$,$(11,60,61)$,$(13,84,85)$,…
【探究1】(1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数组：$(15,$112,113)；
(2)如果直角三角形的直角边长$a = 2n + 1$($n$为正整数),那么$b + c=$$4n^{2}+4n+1$(用含$n$的代数式表示)；
【探究2】请判断$a^{2}-4$,$4a$,$a^{2}+4$($a为大于2$的正整数)是否为一组“勾股数”,并说明理由.
解:$a^{2}-4$,$4a$,$a^{2}+4$为一组“勾股数”.理由如下:
∵a为大于2的正整数,
∴$a^{2}-4$,$4a$,$a^{2}+4$都为正整数,
∵$(a^{2}-4)^{2}+(4a)^{2}$$=a^{4}-8a^{2}+16+16a^{2}$$=a^{4}+8a^{2}+16$,$=(a^{2}+4)^{2}$,即$(a^{2}-4)^{2}+(4a)^{2}=(a^{2}+4)^{2}$,
∴当a为大于2的正整数时,$a^{2}-4$,$4a$,$a^{2}+4$是一组勾股数.

答案： 解:【探究1】
(1)112,113;
(2)$4n^{2}+4n+1$;【探究2】$a^{2}-4$,$4a$,$a^{2}+4$为一组“勾股数”.理由如下:
∵a为大于2的正整数,
∴$a^{2}-4$,$4a$,$a^{2}+4$都为正整数,
∵$(a^{2}-4)^{2}+(4a)^{2}$$=a^{4}-8a^{2}+16+16a^{2}$$=a^{4}+8a^{2}+16$,$=(a^{2}+4)^{2}$,即$(a^{2}-4)^{2}+(4a)^{2}=(a^{2}+4)^{2}$,
∴当a为大于2的正整数时,$a^{2}-4$,$4a$,$a^{2}+4$是一组勾股数.