《2025年万唯中考情境题八年级数学上册苏科版》

7. 如图,在四边形 ABCD 中,连接 AC,延长 BC 到点 E,连接 DE,已知$AC = CD$,$\angle B = \angle ACD = \angle E$,若$AB = 2$,$BE = 6$,则 DE 的长为 (B)
A.2
B.4
C.6
D.8

答案： B

8. 在如图所示的正方形网格中,点 A,B,C,D 均在格点上,则$\angle CAD + \angle DBC = $45°.

答案： 45°

9. 如图,在四边形 ABCD 中,已知$AB// CD$,E 是 AD 边的中点,连接 BE 并延长,与 CD 的延长线交于点 F.
(1)求证:$\triangle ABE\cong \triangle DFE$;
(2)连接 CE,若$CE\perp BF$,求证:$AB + CD = BC$.

答案： 证明:
(1)
∵AB//CD,E是AD边的中点,
∴∠ABE=∠F,AE=DE.
在△ABE和△DFE中,{∠ABE=∠F,∠AEB=∠DEF,AE=DE}
∴△ABE≌△DFE(AAS);
(2)由
(1)可知△ABE≌△DFE,
∴AB=DF,BE=FE.
∵CE⊥BF,
∴∠CEB=∠CEF=90°.
在△BEC和△FEC中,{BE=FE,∠CEB=∠CEF,CE=CE}
∴△BEC≌△FEC(SAS),
∴BC=FC.
∴AB+CD=DF+CD=FC=BC.

10. 如图是某歌剧院的侧面结构简图,已知舞台 AB 与看台 CD 之间的距离为 15 m,舞台 AB 的高度为 1 m,为了增强观众的视觉体验,负责人在点 P 处安装了一个聚光灯,若$AE\perp CD$于点 E,MN 与地面 BC 平行,$\angle MPA + \angle DAE = 90^{\circ}$,且点 A 到点 P 的距离与点 A 到点 D 的距离相等,求此时点 P 处的聚光灯距离地面 BC 的高度.

答案：
解:如解图,过点P作PF⊥BC于点F,交AE于点G.
∵AE⊥CD,PF⊥BC,MN//BC//AE,
∴∠AED=∠AGP=∠MPF=90°,GF=AB=1,
由题意得,∠MPA+∠DAE=90°,
∵∠MPA+∠APG=90°,
∴∠APG=∠DAE,
在△APG和△DAE中,{∠AGP=∠DEA,∠APG=∠DAE,AP=DA}
∴△APG≌△DAE(AAS),
∴PG=AE=15m,
∴PF=PG+GF=15+1=16(m),
∴此时点P处的聚光灯距离地面BC的高度为16m.

11. (中考新考法·纠错改错)如图,在$\triangle AED和\triangle BCF$中,$AE = BF$,$AD = BC$,点 A,C,D,B 在同一直线上,连接 EC,FD. 已知$CE// DF$,$CF// DE$,求证:$AE// BF$.
小佳同学的证明过程如下:
证明:$\because CF// DE$,
$\therefore \angle EDA = \angle FCB$,
在$\triangle AED和\triangle BFC$中,$\left\{\begin{array}{l} AE = BF,\\ \angle EDA = \angle FCB,\\ AD = BC,\end{array} …\right. $①
$\therefore \triangle AED\cong \triangle BFC(SAS)$. ………………… ②
$\therefore \angle A = \angle B$,………………………………… ③
$\therefore AE// BF$. ……………………………………… ④
(1)小佳同学的证明过程中,第①步开始出现错误;
(2)请写出正确的证明过程.

证明:
∵CF//DE,CE//DF,
∴∠EDC=∠FCD,∠ECD=∠FDC,
在△ECD和△FDC中,{∠EDC=∠FCD,CD=DC,∠ECD=∠FDC}
∴△ECD≌△FDC(ASA),
∴CE=DF.
∵AD=BC,AD=AC+CD,BC=BD+CD,
∴AC=BD,
在△ACE和△BDF中,{AE=BF,AC=BD,CE=DF}
∴△ACE≌△BDF(SSS),
∴∠A=∠B,
∴AE//BF.

答案： 解:
(1)①;
(2)证明:
∵CF//DE,CE//DF,
∴∠EDC=∠FCD,∠ECD=∠FDC,
在△ECD和△FDC中,{∠EDC=∠FCD,CD=DC,∠ECD=∠FDC}
∴△ECD≌△FDC(ASA),
∴CE=DF.
∵AD=BC,AD=AC+CD,BC=BD+CD,
∴AC=BD,
在△ACE和△BDF中,{AE=BF,AC=BD,CE=DF}
∴△ACE≌△BDF(SSS),
∴∠A=∠B,
∴AE//BF.