《2025年万唯中考情境题八年级数学上册苏科版》

8. 如图是一种攀岩墙的简化图,可看作是长方体相邻的两个侧面,则从点A攀岩到点B的最短距离是15米.

答案： 15

9. 如图为一个风筝的示意图,该风筝上下两部分均为等腰三角形,$∠D,∠B$为顶角,连接AC,BD,若$AD= 25cm,AC= 40cm,BD= 63cm$,则AB的长为52cm.

答案： 52

10. (教材练习第2题改编)如图,一架梯子AB斜靠在胡同竖直的左墙上,梯子底端到左墙的距离BC为1.5m,顶端A距离地面的高度AC为2m,如果梯子底端B的位置不变,将梯子斜靠在胡同竖直的右墙上,此时梯子的顶端在点E处,顶端到地面的距离EF为2.4m,求胡同的宽CF.

答案： 解:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2 m,BC=1.5 m,
根据勾股定理,得AB²=BC²+AC²=1.5²+2²=6.25,
∴AB=2.5 m(负值已舍去),
在Rt△BEF中,∠F=90°,EF=2.4 m,BE=AB=2.5 m,
根据勾股定理,得BF²=BE² - EF²=2.5² - 2.4²=0.49.
∴BF=0.7 m(负值已舍去),
∴CF=BC+BF=1.5+0.7=2.2(m),即胡同的宽CF为2.2 m.

11. 如图,AB,AC为两条垂直的公路,在点A的正南边B处有一学校,某移动广告宣传车从点C出发,以10m/s的速度向正东方向匀速行驶进行宣讲,在宣传车的130m以内学校会受到宣传车广播噪音的影响.已知$BC= 200m$,$AC= 160m$.
(1)求学校到路口A的距离;
(2)请判断该学校是否会受到噪音影响,若影响,求影响的时间;若不影响,请说明理由.

答案： 解:
(1)由题意可得∠BAC=90°,
在Rt△ABC中,根据勾股定理,得AB²=BC² - AC²=14400,
∴AB=120 m(负值已舍去),
∴学校到路口A的距离为120 m;
(2)
∵AB=120 m＜130 m,
∴会受到影响,
如解图,在AC上找到点D,使得BD=130 m,
在Rt△ABD中,根据勾股定理,得AD²=BD² - AB²=2500,
∴AD=50 m(负值已舍去),
∵广告宣传车的速度为10 m/s,
∴影响的时间为50÷10×2=10(s).

12. (项目式学习·验证房梁安全性)【问题情境】如图①,在$\triangle ABC$中,AD为BC边上的高.
【特例研究】(1)若$CD= 1$,$AD= 2$,$BD= 4$,求证:$AB\perp AC$;
【猜想证明】(2)根据(1)中的结论,小明发现:当满足$AD^{2}= BD\cdot CD$时,$\triangle ABC$是直角三角形,请你验证小明的发现是否正确?
【问题解决】(3)某木质房梁的整体结构关于竖梁成轴对称,将其一侧抽象成如图②所示的图形,已知斜梁$BD\perp AC$.经测量,斜梁$AC= 4.2m$,$BD= 2.4m$,横梁$BC= 4m$.若横梁BC与竖梁AB垂直则为安全房梁,请问该房梁是否安全? 并说明理由.

答案：
(1)证明:
∵AD为BC边上的高,
∠ADB=∠ADC=90°,
∴在Rt△ABD中,AD=2,BD=4,根据勾股定理,得AB²=BD²+AD²=20,
在Rt△ACD中,CD=1,AD=2,根据勾股定理,得AC²=AD²+CD²=5,
∵BC=BD+CD=5,
∴BC²=25,
∴BC²=AB²+AC²,
∴△ABC为直角三角形,∠BAC=90°,
∴AB⊥AC;
(2)解:
∵AD⊥BC,∠ADB=∠ADC=90°,
∴在Rt△ABD中,根据勾股定理,得AD²=AB² - BD²①,在Rt△ACD中,根据勾股定理,得AD²=AC² - CD²②,
①+②得,2AD²=AB² - BD²+AC² - CD²=AB²+AC² - BD² - CD²,
∵AD²=BD·CD,
∴2BD·CD=AB²+AC² - BD² - CD²,
移项,得BD²+2BD·CD+CD²=AB²+AC²,
化简,得(BD+CD)²=AB²+AC²,
即BC²=AB²+AC²,
∴△ABC为直角三角形,即小明的发现正确;
(3)解:不安全.理由如下:
∵BC=4 m,BD=2.4 m,BD⊥AC,
∴在Rt△BCD中,根据勾股定理,得CD=√(BC² - BD²)=3.2(m),
∵AC=4.2 m,
∴AD=AC - CD=1(m),
∵BD²=2.4²=5.76,AD·CD=1×3.2=3.2,
∴BD²≠AD·CD,
∴△ABC不是直角三角形,即AB与BC不垂直,
故这个房梁不安全.