《2025年同步练习册山东科学技术出版社六年级数学上册鲁教版五四制》

10. $ a $ 是不为 1 的有理数,我们把 $ \frac{1}{1 - a} $ 称为 $ a $ 的差倒数,如 2 的差倒数为 $ \frac{1}{1 - 2} = -1 $,$ -1 $ 的差倒数为 $ \frac{1}{1 - (-1)} = \frac{1}{2} $。已知 $ a_1 = 5 $,$ a_2 $ 是 $ a_1 $ 的差倒数,$ a_3 $ 是 $ a_2 $ 的差倒数,$ a_4 $ 是 $ a_3 $ 的差倒数……求 $ a_{2025} $ 的值。

答案： 解:因为$a_{1}=5$,所以$a_{2}=\frac{1}{1-5}=-\frac{1}{4}$,$a_{3}=\frac{1}{1-(-\frac{1}{4})}=\frac{4}{5}$,$a_{4}=\frac{1}{1-\frac{4}{5}}=5$,$\cdots$,所以$a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},\cdots$的值按$5,-\frac{1}{4},\frac{4}{5}$不断循环。因为$2025÷3=675$,所以$a_{2025}=a_{3}=\frac{4}{5}$。

知识点一 乘方的有关概念
求 $ n $ 个相同因数 $ a $ 的积的运算叫作乘方,记作 $ a^n $。乘方的结果叫作幂,$ a $ 叫作底数,$ n $ 叫作指数。$ a^n $ 读作“$ a $ 的 $ n $ 次幂”(或“$ a $ 的 $ n $ 次方”)。

答案： 积 幂 底数 指数

知识点二 乘方的符号法则
乘方运算,先确定符号,再根据乘方的意义进行计算。正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数。

答案： 正数 负数 正数

例 1 式子 $ 3^3 + 3^3 + 3^3 $ 可化为 (A)
A.$ 3^4 $
B.$ 3^5 $
C.$ 3^6 $
D.$ 3^9 $

答案： 【点拨】 $ 3^3 + 3^3 + 3^3 = 3 × 3^3 = 3^4 $。
A

【变式训练 1】 把 $ -(-\frac{2}{3}) × (-\frac{2}{3}) × (-\frac{2}{3}) × (-\frac{2}{3}) $ 写成乘方的形式是 (D)
A.$ -\frac{2^4}{3} $
B.$ (\frac{2}{3})^4 $
C.$ (-\frac{2}{3})^4 $
D.$ -(-\frac{2}{3})^4 $

答案： D

例 2 计算 $ (-2)^{100} + (-2)^{101} $ 的结果是 (D)
A.$ 2^{100} $
B.$ -1 $
C.$ -2 $
D.$ -2^{100} $

答案： 【点拨】 先确定符号,再根据乘方的意义进行计算。原式 $ = 2^{100} - 2^{101} = 2^{100} × (1 - 2) = -2^{100} $。
D