《2025年小题狂做九年级数学上册苏科版巅峰版》

1. (宿迁市沭阳县月考)已知a,b是方程$x^{2}-x-1= 0$的两根,则代数式$2a^{3}+5a+3b^{3}+3b+1$的值是 (D)
A.19
B.20
C.14
D.15

答案： D

2. 已知a,b,c,d为互不相等的实数,且$(a+c)(a+d)= 2025,(b+c)(b+d)= 2025$,则$a+b+c+d$的值为 (B)
A.-2025
B.0
C.$\frac {1}{2025}$
D.2025

答案： B 提示:因为(a+c)(a+d)=2025,(b+c)(b+d)=2025,所以a²+a(c+d)+cd-2025=0,b²+b(c+d)+cd-2025=0.因为a,b,c,d为互不相等的实数,所以a和b可以看作方程x²+(c+d)x+cd-2025=0的两个根,所以$a+b=-\frac{c+d}{1}=-(c+d),$所以a+b+c+d=-(c+d)+c+d=0.

3. 已知方程$2x^{2}+4x-3= 0的两个根分别为x_{1}和x_{2}$,则代数式$2x_{1}^{2}+6x_{1}+2x_{2}$的值等于-1.

答案： -1

4. 若实数a,b满足$a^{2}-8a+5= 0,b^{2}-8b+5= 0$,则$\frac {b-1}{a-1}+\frac {a-1}{b-1}$的值为-20 或 2.

答案： -20 或 2 提示:分两种情况讨论.①当a≠b时,由题意,得a,b是方程x²-8x+5=0的两个根,则a+b=8,ab=5,所以$\frac{b-1}{a-1}+\frac{a-1}{b-1}=\frac{(b-1)²+(a-1)²}{(a-1)(b-1)}=\frac{(a+b)²-2ab-2(a+b)+2}{ab-(a+b)+1}=\frac{64-10-16+2}{5-8+1}=\frac{40}{-2}=-20;②$当a=b时,易知a≠1,所以$\frac{b-1}{a-1}+\frac{a-1}{b-1}=\frac{a-1}{a-1}+\frac{a-1}{a-1}=1+1=2.$综上所述$,\frac{b-1}{a-1}+\frac{a-1}{b-1}$的值为-20或2.

5. 已知关于x的方程$x^{2}+2kx+k^{2}+k+3= 0的两个根分别是x_{1},x_{2}$,则$(x_{1}-1)^{2}+(x_{2}-1)^{2}$的最小值是______8.

答案： 8 提示:由题意,得x₁+x₂=-2k,x₁x₂=k²+k+3,且根的判别式4k²-4(k²+k+3)=-4k-12≥0,所以k≤-3.所以$(x₁-1)²+(x₂-1)²=x₁²-2x₁+1+x₂²-2x₂+1=(x₁+x₂)²-2x₁x₂-2(x₁+x₂)+2=(-2k)²-2(k²+k+3)-2(-2k)+2=2k²+2k-4=2(k+\frac{1}{2})²-\frac{9}{2}.$因为k≤-3,所以$2(k+\frac{1}{2})²-\frac{9}{2}≥8,$即(x₁-1)²+(x₂-1)²的最小值是8.

6. 如果关于x的方程$(x-1)(x^{2}-2x+\frac {1}{4}k)= 0$的三个根可以作为一个三角形的三边长,那么实数k的取值范围是______3＜k≤4.

答案： 3＜k≤4 提示:由题意,得x-1=0或x²-2x+\frac{1}{4}k=0,且方程x²-2x+\frac{1}{4}k=0有两个根,设这两个根分别是m,n(m≥n＞0),则根的判别式$(-2)²-4×1×\frac{1}{4}k≥0,$且$m+n=2,mn=\frac{1}{4}k＞0,$所以0＜k≤4,所以$m-n=\sqrt{(m+n)²-4mn}=\sqrt{4-k}.$根据三角形三边关系定理,得m-n＜1＜m+n,即$\sqrt{4-k}＜1＜2,$所以3＜k≤4.

7. (无锡市滨湖区期中)已知关于x的一元二次方程$x^{2}+3x+k-2= 0$有实数根.
(1)求实数k的取值范围;
(2)若$k＞4$,方程的两个实数根分别为$x_{1},x_{2}$,求证:$\frac {x_{1}}{x_{1}+1}-\frac {1}{x_{2}+1}≥5$.

答案： （1）解:由题意,得根的判别式3²-4×1×(k-2)≥0,解得$k≤\frac{17}{4}.$故k的取值范围是$k≤\frac{17}{4}.（2）$证明:由题意,得x₁+x₂=-3,x₁x₂=k-2,所以$\frac{x₁}{x₁+1}-\frac{1}{x₂+1}=1-\frac{1}{x₁+1}-\frac{1}{x₂+1}=1-(\frac{1}{x₁+1}+\frac{1}{x₂+1})=1-\frac{x₁+x₂+2}{x₁x₂+x₁+x₂+1}=1-\frac{-3+2}{k-2-3+1}=1+\frac{1}{k-4}.$因为4＜k≤\frac{17}{4},所以$1+\frac{1}{k-4}≥5,$即$\frac{x₁}{x₁+1}-\frac{1}{x₂+1}≥5.$

8. 设关于x的方程$ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)有两个根x_{1}和x_{2}$,且$1＜x_{1}＜2＜x_{2}＜4$,那么方程$cx^{2}-bx+a= 0的较小根x_{3}$的取值范围为 (D)
A.$\frac {1}{2}＜x_{3}＜1$
B.$-4＜x_{3}＜-2$
C.$-\frac {1}{2}＜x_{3}＜-\frac {1}{4}$
D.$-1＜x_{3}＜-\frac {1}{2}$

答案： D 提示:由题意,得$x₁+x₂=-\frac{b}{a},x₁x₂=\frac{c}{a}.$设关于x的方程cx²-bx+a=0的两根分别为m,n,则$m+n=\frac{b}{c}=-\frac{b}{a}·(-\frac{a}{c})=-(x₁+x₂)·\frac{1}{x₁x₂}=-\frac{x₁+x₂}{x₁x₂}=-(\frac{1}{x₂}+\frac{1}{x₁}),mn=\frac{a}{c}=\frac{1}{x₁x₂}.$所以方程cx²-bx+a=0的两根分别为$-\frac{1}{x₁},-\frac{1}{x₂}.$因为1＜x₁＜2＜x₂＜4,所以$\frac{1}{2}＜\frac{1}{x₁}＜1,\frac{1}{4}＜\frac{1}{x₂}＜\frac{1}{2},$所以-1＜-\frac{1}{x₁}＜-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}＜-\frac{1}{x₂}＜-\frac{1}{4},所以$-\frac{1}{x₁}＜-\frac{1}{x₂},$所以方程cx²-bx+a=0的较小根x₃的取值范围为-1＜x₃＜-\frac{1}{2}.

9. 已知实数a,b,c满足:$a+b+c= 2,abc= 4$.则$|a|+|b|+|c|$的最小值为______6.

答案： 6 提示:不妨设a是a,b,c中的最大者,即a≥b,a≥c,由题意知a＞0,且$b+c=2-a,bc=\frac{4}{a},$所以b,c可看作是一元二次方程$x²-(2-a)x+\frac{4}{a}=0$的两个实数根,所以$(2-a)²-4×\frac{4}{a}≥0,$即(a²+4)(a-4)≥0,所以a≥4.当a=4时,b=c=-1,满足题意.故a的最小值为4.因为abc=4＞0,所以a,b,c为全大于0或一正二负.①若a,b,c均大于0,因为a≥4,所以a+b+c＞4,这与a+b+c=2矛盾.②若a,b,c为一正二负,即b＜0,c＜0,则|a|+|b|+|c|=a-b-c=a-(2-a)=2a-2,因为a≥4,所以2a-2≥6,当a=4,b=c=-1时,满足题设条件且使等号成立.故|a|+|b|+|c|的最小值为6.

10. 阅读材料,解答问题:
已知实数m,n满足$m^{2}-m-1= 0,n^{2}-n-1= 0$,且$m≠n$,显然m,n是方程$x^{2}-x-1= 0$的两个不相等的实数根,由一元二次方程的根与系数的关系,可知$m+n= 1,mn= -1$.
根据上述材料,解决以下问题:
(1)直接应用:$m^{2}+n^{2}=$3;
(2)间接应用:已知实数a,b满足$2a^{4}-7a^{2}+1= 0,2b^{4}-7b^{2}+1= 0$,且$a≠b$,求$a^{4}+b^{4}$的值;
因为a≠b,所以a²≠b²或a²=b²(a=-b).①当a²≠b²时,令a²=m,b²=n,则2m²-7m+1=0,2n²-7n+1=0,所以m,n是方程2x²-7x+1=0的两个不相等的实数根,所以$\begin{cases} m+n=\frac{7}{2}, \\ mn=\frac{1}{2}, \end{cases}$此时$a⁴+b⁴=m²+n²=(m+n)²-2mn=\frac{45}{4};②$当a²=b²(a=-b)时$,a²=b²=\frac{7±\sqrt{41}}{4},$此时$a⁴+b⁴=2a⁴=2(a²)²=2×(\frac{7±\sqrt{41}}{4})²=\frac{45±7\sqrt{41}}{4}.$综上所述$,a⁴+b⁴=\frac{45}{4}$或$\frac{45±7\sqrt{41}}{4}.$
(3)拓展应用:已知实数a,b,c满足$a+b= c-5,ab= \frac {16}{5-c}$,且$c＜5$,求c的最大值.
因为$a+b=c-5,ab=\frac{16}{5-c},$所以将a,b看作是方程$x²-(c-5)x+\frac{16}{5-c}=0$的两个实数根.因为$(c-5)²-4×\frac{16}{5-c}≥0,$且c＜5,所以(5-c)³≥64,所以5-c≥4,即c≤1,所以c的最大值为1.

答案：
(1)3 提示:m²+n²=(m+n)²-2mn=3.
（2）因为a≠b,所以a²≠b²或a²=b²(a=-b).①当a²≠b²时,令a²=m,b²=n,则2m²-7m+1=0,2n²-7n+1=0,所以m,n是方程2x²-7x+1=0的两个不相等的实数根,所以$\begin{cases} m+n=\frac{7}{2}, \\ mn=\frac{1}{2}, \end{cases}$此时$a⁴+b⁴=m²+n²=(m+n)²-2mn=\frac{45}{4};②$当a²=b²(a=-b)时$,a²=b²=\frac{7±\sqrt{41}}{4},$此时$a⁴+b⁴=2a⁴=2(a²)²=2×(\frac{7±\sqrt{41}}{4})²=\frac{45±7\sqrt{41}}{4}.$综上所述$,a⁴+b⁴=\frac{45}{4}$或$\frac{45±7\sqrt{41}}{4}.（3）$因为$a+b=c-5,ab=\frac{16}{5-c},$所以将a,b看作是方程$x²-(c-5)x+\frac{16}{5-c}=0$的两个实数根.因为$(c-5)²-4×\frac{16}{5-c}≥0,$且c＜5,所以(5-c)³≥64,所以5-c≥4,即c≤1,所以c的最大值为1.