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11. 已知方程$(a-x)^{2}= a(x^{2}+x+a)-8a+16$是关于x的一元二次方程.
(1)求a的取值范围;
(2)若该方程的一次项系数为0,求此方程的根.
(1)求a的取值范围;
(2)若该方程的一次项系数为0,求此方程的根.
答案：
(1) 化简,得$(a-1)x^{2}+3ax-8a+16=0$.因为方程$(a-x)^{2}=a(x^{2}+x+a)-8a+16$是关于x的一元二次方程,所以a-1≠0,解得a≠1.所以a的取值范围为a≠1.
(2) 由一次项系数为零,得a=0.则原方程是$-x^{2}+16=0$,即$x^{2}-16=0$.解得$x_{1}=-4$,$x_{2}=4$.
(1) 化简,得$(a-1)x^{2}+3ax-8a+16=0$.因为方程$(a-x)^{2}=a(x^{2}+x+a)-8a+16$是关于x的一元二次方程,所以a-1≠0,解得a≠1.所以a的取值范围为a≠1.
(2) 由一次项系数为零,得a=0.则原方程是$-x^{2}+16=0$,即$x^{2}-16=0$.解得$x_{1}=-4$,$x_{2}=4$.
12. 是否存在某个实数m,使得关于x的方程$x^{2}+mx+2= 0和x^{2}+2x+m= 0$有且只有一个公共根?如果存在,求出实数m的值及这两个方程的公共根;如果不存在,请说明理由.
答案：
存在.联立两方程,可得$\left\{\begin{array}{l} x^{2}+mx+2=0,\\ x^{2}+2x+m=0.\end{array}\right. $当m≠2时,可解得唯一的公共根x=1.把x=1代入$x^{2}+mx+2=0$,得m=-3.故当m=-3时,这两个方程有且只有一个公共根,公共根为x=1.
13. 定义:关于x的一元二次方程$cx^{2}+bx+a= 0$(其中a,b,c是常数,且$ac≠0$)是关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0$的"友好"方程.例如:$-2x^{2}-x+1= 0是x^{2}-x-2= 0$的"友好"方程.
(1)【概念感知】$2x^{2}-3x-2= 0$的"友好"方程是
(2)【问题探究】若关于x的一元二次方程$cx^{2}+bx+a= 0$(其中a,b,c是常数,且$ac≠0$)的一个解为3,请判断$\frac{1}{3}$是否为该方程的"友好"方程的一个解?若是,请证明;若不是,请说明理由.
(1)【概念感知】$2x^{2}-3x-2= 0$的"友好"方程是
$-2x^{2}-3x+2=0$
.(2)【问题探究】若关于x的一元二次方程$cx^{2}+bx+a= 0$(其中a,b,c是常数,且$ac≠0$)的一个解为3,请判断$\frac{1}{3}$是否为该方程的"友好"方程的一个解?若是,请证明;若不是,请说明理由.
是.证明如下:把x=3代入方程$cx^{2}+bx+a=0$,得9c+3b+a=0,即a+3b+9c=0.因为关于x的一元二次方程$cx^{2}+bx+a=0$的"友好"方程为$ax^{2}+bx+c=0$,把$x=\frac{1}{3}$代入$ax^{2}+bx+c$,得$ax^{2}+bx+c=\frac{1}{9}a+\frac{1}{3}b+c=\frac{1}{9}(a+3b+9c)=0$,所以$x=\frac{1}{3}$是方程$ax^{2}+bx+c=0$的一个解,即$\frac{1}{3}$为$cx^{2}+bx+a=0$的"友好"方程的一个解.
答案：
(1)$-2x^{2}-3x+2=0$
(2) 是.证明如下:把x=3代入方程$cx^{2}+bx+a=0$,得9c+3b+a=0,即a+3b+9c=0.因为关于x的一元二次方程$cx^{2}+bx+a=0$的"友好"方程为$ax^{2}+bx+c=0$,把$x=\frac{1}{3}$代入$ax^{2}+bx+c$,得$ax^{2}+bx+c=\frac{1}{9}a+\frac{1}{3}b+c=\frac{1}{9}(a+3b+9c)=0$,所以$x=\frac{1}{3}$是方程$ax^{2}+bx+c=0$的一个解,即$\frac{1}{3}$为$cx^{2}+bx+a=0$的"友好"方程的一个解.
(1)$-2x^{2}-3x+2=0$
(2) 是.证明如下:把x=3代入方程$cx^{2}+bx+a=0$,得9c+3b+a=0,即a+3b+9c=0.因为关于x的一元二次方程$cx^{2}+bx+a=0$的"友好"方程为$ax^{2}+bx+c=0$,把$x=\frac{1}{3}$代入$ax^{2}+bx+c$,得$ax^{2}+bx+c=\frac{1}{9}a+\frac{1}{3}b+c=\frac{1}{9}(a+3b+9c)=0$,所以$x=\frac{1}{3}$是方程$ax^{2}+bx+c=0$的一个解,即$\frac{1}{3}$为$cx^{2}+bx+a=0$的"友好"方程的一个解.
14. 若方程$x^{2}-3x-1= 0$的两个根也是方程$x^{4}+ax^{2}+bx+c= 0$的根(a,b,c为常数),则$a+b-2c$的值为______
-13
.
答案：
-13 提示:设m是方程$x^{2}-3x-1=0$的根,则$m^{2}-3m-1=0$,所以$m^{2}=3m+1$.由题意可知,m也是方程$x^{4}+ax^{2}+bx+c=0$的根,所以$m^{4}+am^{2}+bm+c=0$.把$m^{2}=3m+1$代入,得$(3m+1)^{2}+am^{2}+bm+c=0$.整理,得$(9+a)m^{2}+(6+b)m+c+1=0$ ①.继续将$m^{2}=3m+1$代入式①,得$(33+3a+b)m+(10+a+c)=0$ ②.易知m≠0.因为a,b,c为常数,且式②对2个不同的m值恒成立,所以b=-3a-33,c=-a-10,所以$a+b-2c=a+(-3a-33)-2(-a-10)=-13$.
15. 阅读材料:
已知方程$x^{2}+x-1= 0$,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的2倍.
解:设所求方程的根为y,则$y= 2x$,所以$x= \frac{y}{2}$,把$x= \frac{y}{2}$代入已知方程,得$(\frac{y}{2})^{2}+\frac{y}{2}-1= 0$,化简,得$y^{2}+2y-4= 0$,所以所求方程为$y^{2}+2y-4= 0$,这种利用方程根的代换求新方程的方法叫作"换根法".
利用阅读材料提供的换根法求新方程:
(1)已知方程$x^{2}+x-2= 0$,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的相反数,则所求方程是什么?
(2)已知方程$x^{2}+3x-5= 0$,求一个一元二次方程,使它的根分别比已知方程的根大1,则所求方程是什么?
已知方程$x^{2}+x-1= 0$,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的2倍.
解:设所求方程的根为y,则$y= 2x$,所以$x= \frac{y}{2}$,把$x= \frac{y}{2}$代入已知方程,得$(\frac{y}{2})^{2}+\frac{y}{2}-1= 0$,化简,得$y^{2}+2y-4= 0$,所以所求方程为$y^{2}+2y-4= 0$,这种利用方程根的代换求新方程的方法叫作"换根法".
利用阅读材料提供的换根法求新方程:
(1)已知方程$x^{2}+x-2= 0$,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的相反数,则所求方程是什么?
(2)已知方程$x^{2}+3x-5= 0$,求一个一元二次方程,使它的根分别比已知方程的根大1,则所求方程是什么?
答案：
(1) 设所求方程的根为y,则y=-x,所以x=-y,把x=-y代入方程$x^{2}+x-2=0$,得$(-y)^{2}+(-y)-2=0$,化简,得$y^{2}-y-2=0$.故所求方程为$y^{2}-y-2=0$.
(2) 设所求方程的根为y,则y=x+1,所以x=y-1,把x=y-1代入方程$x^{2}+3x-5=0$,得$(y-1)^{2}+3(y-1)-5=0$,化简,得$y^{2}+y-7=0$.故所求的方程为$y^{2}+y-7=0$.
(1) 设所求方程的根为y,则y=-x,所以x=-y,把x=-y代入方程$x^{2}+x-2=0$,得$(-y)^{2}+(-y)-2=0$,化简,得$y^{2}-y-2=0$.故所求方程为$y^{2}-y-2=0$.
(2) 设所求方程的根为y,则y=x+1,所以x=y-1,把x=y-1代入方程$x^{2}+3x-5=0$,得$(y-1)^{2}+3(y-1)-5=0$,化简,得$y^{2}+y-7=0$.故所求的方程为$y^{2}+y-7=0$.
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