《2025年小题狂做九年级数学上册苏科版巅峰版》

1. 已知△ABC内接于⊙O.若∠OBC= 40°,则∠A的度数为(D)
A.50°
B.130°
C.80°或100°
D.50°或130°

答案： D

2. 如图,在圆内接四边形ABCD中,∠C= 135°,AB⊥BD,以AB所在直线为y轴,BD所在直线为x轴,建立平面直角坐标系.若点A的坐标为(0,3),则圆的直径是(D)
A.6
B.5
C.3√3
D.3√2

答案： D

3. 如图,⊙O是△ADB,△BDC的外接圆,∠DBC= 2∠ADB.若AB= 2√5,CD= 8,则⊙O的半径为(B)
A.2√5
B.5
C.11/2
D.3√3

答案： B 提示:连接 OA,OB,OC,OD,过点 O 作 OE⊥CD 于点 F,交⊙O 于点 E,连接 DE,则∠DOC = 2∠DOE,DF = 1/2CD = 4.因为∠DBC = 2∠ADB,所以∠DOC = 2∠AOB,所以∠DOE = ∠AOB,所以 DE = AB = 2√5.所以 EF = √(DE² - DF²) = 2.设⊙O 的半径为 r.在 Rt△ODF 中,OD² = DF² + OF²,即 r² = 4² + (r - 2)²,解得 r = 5,即⊙O 的半径为 5.

4. 如图,已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形,BD平分∠ABC,DH⊥AB于点H,DH= √3,∠ABC= 120°,则AB+CB的值为(C)
A.√2
B.√3
C.2
D.√5

答案： C 提示:延长 BA 到点 E,使 AE = CB,连接 DE.易得∠ABD = ∠CBD = 1/2∠ABC = 60°,所以∠CAD = ∠CBD = 60°,∠ACD = ∠ABD = 60°,所以△DAC 为等边三角形,所以 DA = DC.又因为四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形,所以∠DAB + ∠DCB = 180° = ∠DAB + ∠DAE,所以∠DAE = ∠DCB.所以△ADE ≌ △CDB,所以∠E = ∠CBD = 60°.又因为∠ABD = 60°,所以△DBE 为等边三角形.由 DH = √3,易得 BE = 2.所以 AB + CB = AB + AE = BE = 2.

5. 如图,AB是⊙O的直径,C是⌢AB的中点,D是直径AB所在直线下方一点,连接CD,且满足∠ADB= 60°,BD= 2,AD= 3√3,则△ABD的面积为______9/2,CD的长为______7√2/2.

答案： 9/2 7√2/2 提示:如图,设 AD 交⊙O 于点 E,连接 BE.因为 AB 是⊙O 的直径,所以 BE⊥AD.因为∠ADB = 60°,BD = 2,所以∠EBD = 30°,所以 DE = 1/2BD = 1,所以 BE = √(BD² - DE²) = √3.因为 AD = 3√3,所以 S△ABD = 1/2AD·BE = 1/2×3√3×√3 = 9/2.连接 AC,BC.因为 C 是⌢AB 的中点,所以⌢AC = ⌢BC,所以 AC = BC.把△CDB 绕点 C 顺时针旋转 90°得到△CFA,过点 F 作 FH⊥DA 交 DA 的延长线于点 H,连接 DF,则∠FCD = 90°,∠CFA = ∠CDB,CF = CD,AF = BD = 2.因为∠CFA + ∠CDA = ∠CDB + ∠CDA = ∠ADB = 60°,所以∠AFD + ∠ADF = 30°,所以∠HAF = 30°,所以在 Rt△AFH 中,FH = 1/2AF = 1,所以 AH = √(AF² - FH²) = √3,所以 DH = AD + AH = 4√3.在 Rt△DFH 中,DF = √(FH² + DH²) = 7.所以在等腰直角三角形 CFD 中,CD = √2/2DF = 7√2/2.

6. (南京市联合体期末)如图,⊙O的半径为4,弦AB的长为√2,点C在⊙O上.若∠BAC= 135°,则AC的长为______.

答案： √31 - 1 提示:如图,在优弧 BC 上任取一点 D(不与点 B,C 重合),连接 BD,CD,OB,OC,BC,过点 B 作 BE⊥CA,交 CA 的延长线于点 E.因为∠BAC = 135°,所以∠BAE = 45°.易知△ABE 为等腰直角三角形.又因为 AB = √2,所以 AE = BE = 1.又由图可知,四边形 ABDC 是⊙O 的内接四边形,所以∠BDC = 180° - ∠BAC = 45°,所以∠BOC = 90°.由条件,得 OB = OC = 4.由勾股定理,得 BC = √(OB² + OC²) = 4√2.在 Rt△BEC 中,由勾股定理,得 CE = √(BC² - BE²) = √31.所以 AC = CE - AE = √31 - 1.

7. 如图,点O为△ABC的外接圆圆心,E为⊙O上一点,BC,OE互相平分,CF⊥AE于点F,连接DF.若OE= 2√3,DF= 1,则△ABC的周长为______6 + 2√33.

答案： 6 + 2√33 提示:延长 CF 交 AB 于点 G,过点 C 作 CH⊥AB 于点 H,连接 BO,CO,BE,CE.因为 BC,OE 互相平分,所以四边形 BECO 为平行四边形.又因为 OB = OC,所以四边形 BECO 为菱形,所以 BE = EC,∠ODB = 90°,OD = 1/2OE = 1/2OB,所以⌢BE = ⌢EC,∠OBD = 30°,OD = √3.所以∠BOD = 60°,BD = 3,BC = 2BD = 6,所以∠BAE = ∠EAC = 30°.所以∠BAC = 60°.由 CF⊥AE,易得△AGC 为等边三角形,CH = √3GH,DF 是△CBG 的中位线.所以 BG = 2DF = 2.在 Rt△BCH 中,由勾股定理,得 BH² + HC² = BC²,即(2 + GH)² + (√3GH)² = 6²,解得 GH = (-1 + √33)/2(负值已舍).所以 AC = AG = 2GH = -1 + √33.所以 AB = AG + BG = 1 + √33.所以△ABC 的周长为 AB + AC + BC = 6 + 2√33.

8. 如图,在△ABC中,AB= 5,AC= 8,BC= 7,D是BC上一动点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,则线段EF长的最小值为______30/7.

答案： 30/7 提示:连接 AD.因为 DE⊥AB,DF⊥AC,所以∠AED = ∠AFD = 90°,所以 A,E,D,F 四点共圆,且圆心为 AD 的中点 O.连接 OE,OF,过点 C 作 CM⊥AB 于点 M.设 AM = x,则 BM = 5 - x.因为 CM² = AC² - AM² = BC² - BM²,所以 8² - x² = 7² - (5 - x)²,解得 x = 4.所以 AM = 4,CM = 4√3.又因为 AC = 8,所以∠ACM = 30°,所以∠CAM = 60°,所以∠EOF = 2∠CAM = 120°,∠OEF = 30°.过点 O 作 OH⊥EF 于点 H,则 EF = 2EH = √3OE = √3/2AD.所以当⊙O 的直径 AD 最小时,EF 的值最小.过点 A 作 AN⊥BC 于点 N.当 AD 与 AN 重合时,AD 的值最小.由等积法,得 AN = (AB·CM)/BC = 20√3/7.所以 EF 长的最小值为 √3/2×20√3/7 = 30/7.

9. 如图,⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E,F.
(1)当∠E= ∠F时,∠ADC= 90°.
(2)当∠A= 55°,∠E= 30°时,∠F= 40°.
(3)若∠E= α,∠F= β,且α≠β,则∠A= 90° - (α + β)/2(用含α,β的代数式表示).

答案：
(1) 90° 提示:因为∠E = ∠F,∠DCE = ∠BCF,所以∠ADC = ∠ABC.又因为∠ADC + ∠ABC = 180°,所以∠ADC = 90°.
(2) 40° 提示:因为∠A = 55°,∠E = 30°,所以∠ABE = 180° - ∠A - ∠E = 95°,所以∠ADF = 180° - ∠ABE = 85°.所以∠F = 180° - ∠ADF - ∠A = 40°.
(3) 90° - (α + β)/2 提示:因为∠ADC = 180° - ∠A - ∠F,∠ABC = 180° - ∠A - ∠E,且∠ADC + ∠ABC = 180°,所以 180° - ∠A - ∠F + 180° - ∠A - ∠E = 180°,所以 2∠A + ∠E + ∠F = 180°,所以∠A = 90° - (∠E + ∠F)/2 = 90° - (α + β)/2.