《2025年小题狂做九年级数学上册苏科版巅峰版》

1. 10个大小相同的正六边形按如图所示的方式紧密排列在同一平面内,A,B,C,D,E,O均是正六边形的顶点,则下列三角形的外心为点O的是 (D)
A.△AED
B.△ABD
C.△BCD
D.△ACD

答案： D

2. 如图,正n边形$A_1A_2A_3…Aₙ$的两条对角线$A_1A_7,A_4A_6$的延长线交于点P.若∠P= 24°,则n的值是 (B)
A.12
B.15
C.18
D.24

答案： B 提示:连接A₂A₆.因为多边形是正n边形,所以A₁A₇//A₂A₆,所以∠A₂A₆A₄=∠P=24°.易知正n边形的中心角为24°,所以n=360°÷24°=15.

3. 如图,在平面直角坐标系xOy中,有一正五边形ABCDE,其中C,D两点的坐标分别为(1,0),(2,0).若在没有滑动的情况下,将此正五边形沿着x轴向右滚动,则在滚动过程中,经过点(75,0)的正五边形ABCDE的顶点是 (B)
A.A
B.B
C.C
D.D

答案： B 提示:因为C,D两点的坐标分别为(1,0),(2,0).所以按题中滚动的方法,点E经过点(3,0),点A经过点(4,0),点B经过点(5,0).因为点(75,0)的横坐标是5的倍数,而该正五边形每滚动5次正好滚动一周,所以可知,经过点(5,0)的点经过点(75,0),所以点B经过点(75,0).

4. 如图,正方形ABCD和正三角形AEF都内接于⊙O,EF与BC,CD分别相交于点G,H,则$\frac{EF}{GH}$的值是 (C)
A.$\frac{\sqrt{6}}{2}$
B.$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.2

答案： C 提示:连接AC,BD,OF,设AC与GH交于点I,易证圆心O是AC,BD的交点,AC⊥BD,AC⊥EF,所以EF//BD.设⊙O的半径是r,则OF=r.易证AO是∠EAF的平分线,所以∠OAF=30°,所以∠COF=60°,所以∠OFI=30°,所以OI=$\frac{1}{2}$OF=$\frac{1}{2}$r,所以CI=OC - OI=$\frac{1}{2}$r,IF=$\sqrt{OF^2 - OI^2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r.易得EF=2IF=$\sqrt{3}$r,CI=OI=$\frac{1}{2}$r,且CI⊥EF.由EF//BD,可知GH是△BCD的中位线,所以GH=$\frac{1}{2}$BD=r.所以$\frac{EF}{GH}$=$\frac{\sqrt{3}r}{r}$=$\sqrt{3}$.

5. 如图,△ABC与△DEF均为等边三角形,⊙O是△ABC的内切圆,同时也是△DEF的外接圆.若AB= 1cm,则DE= $\frac{1}{2}$cm.

答案： $\frac{1}{2}$

6. 如图是一个半径为4m的圆形广场,其中放有六个相同的宽均为1m的矩形临时摊位,这些摊位均有两个顶点在广场边上,另两个顶点紧靠相邻摊位的顶点,则每个矩形摊位的长为$\frac{3\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}$m.

答案： $\frac{3\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}$

7. 如图,⊙O的半径为1,作两条互相垂直的直径AB,CD,弦AC是⊙O的内接正四边形的一条边.若以点A为圆心,1为半径画弧,交⊙O于点E,F,连接AE,CE,弦EC是该圆内接正n边形的一边,则该正n边形的面积为______3.

答案： 3 提示:连接OE.根据题意,可知AB⊥CD,AE=AO=OE=1,所以∠AOC=90°,∠AOE=60°,所以∠EOC=30°.因为360°÷30°=12,所以EC是该圆内接正十二边形的一边.过点E作EG⊥OC于点G,则EG=$\frac{1}{2}$OE=$\frac{1}{2}$.所以该圆内接正十二边形的面积为12S△COE=12×$\frac{1}{2}$OC·EG=12×$\frac{1}{2}$×1×$\frac{1}{2}$=3.

8. 如图,在正六边形ABCDEF中,P,Q两点分别为△ACF,△CEF的内心.若AF= 2,则PQ的长为$2\sqrt{3}-2$.

答案： $2\sqrt{3}-2$ 提示:连接PF,QF,PC,QC.设PQ交CF于点G,则∠PFC=∠QFC=30°,∠PCF=∠QCF,可证PQ⊥CF,△PQF是等边三角形,所以PQ=2PG.易知∠ACF=30°,∠CAF=90°,可得CF=2AF=4,所以AC=$2\sqrt{3}$.因为点P是△ACF的内心,所以$\frac{1}{2}$×2·PG+$\frac{1}{2}$×$2\sqrt{3}$·PG+$\frac{1}{2}$×4·PG=$\frac{1}{2}$×2×$2\sqrt{3}$,所以PG=$\frac{4\sqrt{3}}{6+2\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}-1$.所以PQ=2PG=$2\sqrt{3}-2$.