《2025年小题狂做九年级数学上册苏科版巅峰版》

12. (镇江市京口区期中)如果关于x的一元二次方程ax^2+bx+c= 0有两个实数根,且其中一个根是另一个根的3倍,那么称这样的方程为“三倍根方程”.例如,方程x^2-4x+3= 0的两个根分别为1和3,则这个方程就是“三倍根方程”.
(1)下列方程是“三倍根方程”的是③(填序号).
①x^2-3x+2= 0；
②x^2-3x= 0；
③x^2-8x+12= 0.
(2)若关于x的方程x^2-6x+c= 0是“三倍根方程”,则c=$\frac{27}{4}$.
(3)若关于x的方程x^2-(m+n)x+mn= 0是“三倍根方程”,求代数式$\frac{mn}{m^2+n^2}$的值.
解:设方程的两根分别为a,3a.根据根与系数的关系,得$ a+3a=m+n $,$ a\cdot3a=mn $,即$ m+n=4a $,$ mn=3a^{2} $,所以$ \frac{mn}{m^{2}+n^{2}}=\frac{mn}{(m+n)^{2}-2mn}=\frac{3a^{2}}{16a^{2}-2×3a^{2}}=\frac{3}{10} $.

答案：
(1)③；
(2)$ \frac{27}{4} $；
(3)解:设方程的两根分别为a,3a.根据根与系数的关系,得$ a+3a=m+n $,$ a\cdot3a=mn $,即$ m+n=4a $,$ mn=3a^{2} $,所以$ \frac{mn}{m^{2}+n^{2}}=\frac{mn}{(m+n)^{2}-2mn}=\frac{3a^{2}}{16a^{2}-2×3a^{2}}=\frac{3}{10} $.

13. 已知关于x的一元二次方程$x^2-2(k+1)x+k^2+k+3= 0(k$为常数).
(1)若方程的两根为菱形相邻两边的长,求k的值.
(2)是否存在常数k,使该方程的两根等于边长为2的菱形的两对角线长？若存在,求k的值；若不存在,说明理由.

答案：
(1)由题意可知,此方程有两个相等的实数根,所以$ [-2(k+1)]^{2}-4(k^{2}+k+3)=0 $,即$ 4(k^{2}+2k+1)-4k^{2}-4k-12=0 $.整理,得$ 4k-8=0 $,解得$ k=2 $.
(2)不存在.理由如下:若该方程的两根是菱形的两对角线长,设菱形的两对角线长分别为a,b,则$ a+b=2(k+1) $,$ ab=k^{2}+k+3 $.因为$ 4k-8\geq0 $,所以$ k\geq2 $.因为菱形的两对角线互相垂直平分,所以由勾股定理,得$ (\frac{b}{2})^{2}+(\frac{a}{2})^{2}=4 $.整理,得$ b^{2}+a^{2}=16 $,所以$ (a+b)^{2}-2ab=16 $,即$ [2(k+1)]^{2}-2(k^{2}+k+3)=16 $,解得$ k=\frac{-3\pm3\sqrt{5}}{2} $.因为$ k=\frac{-3\pm3\sqrt{5}}{2}＜2 $,所以不存在满足条件的常数k.

14. 已知α,β是方程x^2-x-1= 0的两个实数根(α＜β).
(1)求α,β,并通过计算求α+β的值.
(2)阅读示例,尝试解题.
示例：根据α+β的值,求α^2+β^2与α^3+β^3的值.
解：因为α是方程x^2-x-1= 0的一个实数根,所以α^2-α-1= 0,移项,得α^2= α+1 ①.
同理,可得β^2= β+1 ②.
①+②,得α^2+β^2= (α+1)+(β+1)= α+β+2.
又因为α,β是方程x^2-x-1= 0的两个实数根,所以α+β= 1.所以α^2+β^2= 1+2= 3.
将①式两边同时乘α,得α^3= α^2+α ③,
将②式两边同时乘β,得β^3= β^2+β ④.
③+④,得α^3+β^3= (α^2+α)+(β^2+β)= (α^2+β^2)+(α+β)= 3+1= 4.
①运用上述方法,计算α^5+β^5的值；
②计算$(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{10}+(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{10}$的值(过程不作要求).

答案：
(1)因为$ \alpha＜\beta $,所以利用求根公式,得$ \alpha=\frac{1-\sqrt{5}}{2} $,$ \beta=\frac{1+\sqrt{5}}{2} $,所以$ \alpha+\beta=1 $.
(2)①由示例可得,$ \alpha^{2}+\beta^{2}=3 $,$ \alpha^{3}+\beta^{3}=4 $,$ \alpha^{4}+\beta^{4}=(\alpha^{3}+\alpha^{2})+(\beta^{3}+\beta^{2})=7 $.所以$ \alpha^{5}+\beta^{5}=(\alpha^{4}+\alpha^{3})+(\beta^{4}+\beta^{3})=(\alpha^{4}+\beta^{4})+(\alpha^{3}+\beta^{3})=7+4=11 $.②123.