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12. (苏州市常熟市期末)如图,直线$y= -\sqrt{3}x+4\sqrt{3}$与x轴、y轴分别交于B,A两点,$\odot P$的圆心坐标为(1,1),且与x轴相切于点C. 现将$\odot P$从如图所示的位置开始沿x轴向右滚动,当$\odot P$与直线AB相切时,圆心P运动的距离为______.
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答案：
$3-\sqrt{3}$或$3+\frac{\sqrt{3}}{3}$ 提示:易得点A(0,$4\sqrt{3}$),B(4,0),所以$OA = 4\sqrt{3}$,OB = 4.所以$AB=\sqrt{OA^{2}+OB^{2}}=8$,所以∠OAB = 30°,所以∠ABO = 60°.①如图1,当⊙P位于直线AB的左侧且与直线AB相切,即⊙P运动到⊙$P_{1}$位置时,连接$BP_{1}$,可得∠$P_{1}BD$=30°,$P_{1}D = 1$,所以$P_{1}B = 2$,所以$BD=\sqrt{3}$,所以$P_{1}P = CD = OB - OC - BD = 4 - 1 - \sqrt{3}=3-\sqrt{3}$;②如图2,当⊙P位于直线AB的右侧且与直线AB相切,即⊙P运动到⊙$P_{2}$位置时,连接$BP_{2}$,可得∠$P_{2}BD$=60°,$P_{2}D = 1$,所以∠$BP_{2}D$=30°.易得$BD=\frac{\sqrt{3}}{3}$,所以$PP_{2}=CD = OB + BD - OC = 4+\frac{\sqrt{3}}{3}-1 = 3+\frac{\sqrt{3}}{3}$.
$3-\sqrt{3}$或$3+\frac{\sqrt{3}}{3}$ 提示:易得点A(0,$4\sqrt{3}$),B(4,0),所以$OA = 4\sqrt{3}$,OB = 4.所以$AB=\sqrt{OA^{2}+OB^{2}}=8$,所以∠OAB = 30°,所以∠ABO = 60°.①如图1,当⊙P位于直线AB的左侧且与直线AB相切,即⊙P运动到⊙$P_{1}$位置时,连接$BP_{1}$,可得∠$P_{1}BD$=30°,$P_{1}D = 1$,所以$P_{1}B = 2$,所以$BD=\sqrt{3}$,所以$P_{1}P = CD = OB - OC - BD = 4 - 1 - \sqrt{3}=3-\sqrt{3}$;②如图2,当⊙P位于直线AB的右侧且与直线AB相切,即⊙P运动到⊙$P_{2}$位置时,连接$BP_{2}$,可得∠$P_{2}BD$=60°,$P_{2}D = 1$,所以∠$BP_{2}D$=30°.易得$BD=\frac{\sqrt{3}}{3}$,所以$PP_{2}=CD = OB + BD - OC = 4+\frac{\sqrt{3}}{3}-1 = 3+\frac{\sqrt{3}}{3}$.
13. 甲、乙两名同学做摸球游戏,他们把三个分别标有1,2,3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中. 从袋中随机摸出1个小球后放回,摇匀后再随机摸出1个小球. 若两次摸出的小球上的标号之和为奇数,则甲获胜；若两次摸出的小球上的标号之和为偶数,则乙获胜.
(1)用画树状图的方法,列出这个游戏所有可能出现的结果.
(2)这个游戏是否公平？请说明理由.
(1)用画树状图的方法,列出这个游戏所有可能出现的结果.
(2)这个游戏是否公平？请说明理由.
答案：
（1）画树状图如图所示.
由树状图可知,共有9种等可能的结果,即2,3,4,3,4,5,4,5,6.（2）这个游戏不公平.理由如下:P(甲获胜)=$\frac{4}{9}$,P(乙获胜)=$\frac{5}{9}$.因为P(甲获胜)≠P(乙获胜),所以这个游戏不公平.
（1）画树状图如图所示.
由树状图可知,共有9种等可能的结果,即2,3,4,3,4,5,4,5,6.（2）这个游戏不公平.理由如下:P(甲获胜)=$\frac{4}{9}$,P(乙获胜)=$\frac{5}{9}$.因为P(甲获胜)≠P(乙获胜),所以这个游戏不公平. 14. 官渡粑粑是昆明特产. 某网店通过市场调研发现(整箱售卖)：①当每箱官渡粑粑的利润为50元时,一个月可卖500箱；②不考虑其他因素,每箱降价1元,就可以多卖20箱. 为抓住十一黄金周的商机,尽快清仓,该网店决定降价促销,设每箱降价x元.
(1)若今年10月该网店出售官渡粑粑的总利润是28000元,则每箱官渡粑粑降价多少元？
(2)在上述条件不变的情况下,11月的总利润能否达到30000元？请你通过计算说明.
(1)若今年10月该网店出售官渡粑粑的总利润是28000元,则每箱官渡粑粑降价多少元？
(2)在上述条件不变的情况下,11月的总利润能否达到30000元？请你通过计算说明.
答案：
（1）根据题意,得(50 - x)(500 + 20x)=28000.整理,得$x^{2}-25x + 150 = 0$,解得$x_{1}=10,x_{2}=15$.为了尽快清仓,所以x = 15.答:10月该网店每箱降价15元.（2）根据题意,得(50 - x)(500 + 20x)=30000.整理,得$x^{2}-25x + 250 = 0$.因为$(-25)^{2}-4×250＜0$,所以该方程无实数根,所以11月的总利润不能达到30000元.
15. 如图1,E是$\odot O$的直径AB上一点,AE= 2,BE= 8,过点E作弦CD$\perp$AB,点G在$\overset{\frown}{BD}$上运动,连接CG.
(1)求CD的长.
(2)如图2,连接AG,作$\angle DCG$的平分线交AG于点F,在点G运动的过程中,AF的长度是否会发生变化？若发生变化,请说明理由；若不会发生变化,请求出其值.
(3)如图3,过点B作BH$\perp$CG于点H,连接DH,求DH长的最小值.
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(1)求CD的长.
(2)如图2,连接AG,作$\angle DCG$的平分线交AG于点F,在点G运动的过程中,AF的长度是否会发生变化？若发生变化,请说明理由；若不会发生变化,请求出其值.
(3)如图3,过点B作BH$\perp$CG于点H,连接DH,求DH长的最小值.
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答案：
（1）连接OD.因为AE = 2,BE = 8,所以AB = 10,所以⊙O的半径为5,所以OE = OA - AE = 3.因为CD⊥AB,所以∠OED = 90°,所以$ED=\sqrt{OD^{2}-OE^{2}}=4$,所以CD = 2ED = 8.（2）AF的长度不会发生变化,且$AF = 2\sqrt{5}$.理由如下:连接AD,AC.由题易知,AB垂直平分CD,所以$AC = AD=\sqrt{AE^{2}+ED^{2}}=2\sqrt{5}$,所以∠ADC = ∠ACD = ∠AGC.因为CF平分∠DCG,所以∠FCD = ∠FCG.因为∠ACF = ∠ACD + ∠FCD,∠AFC = ∠AGC + ∠FCG,所以∠ACF = ∠AFC,所以AC = AF,故AF的长度不会发生变化,且$AF = 2\sqrt{5}$.（3）如图,连接BC.取BC的中点Q,连接HQ,DQ.因为∠BEC = 90°,BE = 8,CE = 4,所以$BC=\sqrt{BE^{2}+CE^{2}}=4\sqrt{5}$.因为BH⊥CG,所以∠BHC = 90°,所以$QH = QB = QC=\frac{1}{2}BC = 2\sqrt{5}$.作DP⊥BC于点P,则∠CPD = ∠QPD = 90°.由等积法可知,$S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}BC\cdot DP=\frac{1}{2}CD\cdot BE$,所以$DP=\frac{16\sqrt{5}}{5}$.所以$CP=\sqrt{CD^{2}-DP^{2}}=\frac{8\sqrt{5}}{5}$,所以$PQ = QC - CP=\frac{2\sqrt{5}}{5}$.所以$DQ=\sqrt{PQ^{2}+DP^{2}}=2\sqrt{13}$.因为DH + QH≥DQ,所以DH≥DQ - QH,即$DH\geq2\sqrt{13}-2\sqrt{5}$.所以DH的最小值为$2\sqrt{13}-2\sqrt{5}$.
（1）连接OD.因为AE = 2,BE = 8,所以AB = 10,所以⊙O的半径为5,所以OE = OA - AE = 3.因为CD⊥AB,所以∠OED = 90°,所以$ED=\sqrt{OD^{2}-OE^{2}}=4$,所以CD = 2ED = 8.（2）AF的长度不会发生变化,且$AF = 2\sqrt{5}$.理由如下:连接AD,AC.由题易知,AB垂直平分CD,所以$AC = AD=\sqrt{AE^{2}+ED^{2}}=2\sqrt{5}$,所以∠ADC = ∠ACD = ∠AGC.因为CF平分∠DCG,所以∠FCD = ∠FCG.因为∠ACF = ∠ACD + ∠FCD,∠AFC = ∠AGC + ∠FCG,所以∠ACF = ∠AFC,所以AC = AF,故AF的长度不会发生变化,且$AF = 2\sqrt{5}$.（3）如图,连接BC.取BC的中点Q,连接HQ,DQ.因为∠BEC = 90°,BE = 8,CE = 4,所以$BC=\sqrt{BE^{2}+CE^{2}}=4\sqrt{5}$.因为BH⊥CG,所以∠BHC = 90°,所以$QH = QB = QC=\frac{1}{2}BC = 2\sqrt{5}$.作DP⊥BC于点P,则∠CPD = ∠QPD = 90°.由等积法可知,$S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}BC\cdot DP=\frac{1}{2}CD\cdot BE$,所以$DP=\frac{16\sqrt{5}}{5}$.所以$CP=\sqrt{CD^{2}-DP^{2}}=\frac{8\sqrt{5}}{5}$,所以$PQ = QC - CP=\frac{2\sqrt{5}}{5}$.所以$DQ=\sqrt{PQ^{2}+DP^{2}}=2\sqrt{13}$.因为DH + QH≥DQ,所以DH≥DQ - QH,即$DH\geq2\sqrt{13}-2\sqrt{5}$.所以DH的最小值为$2\sqrt{13}-2\sqrt{5}$.
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