《2025年小题狂做九年级数学上册苏科版巅峰版》

1. 定义:如果一元二次方程 $ax^{2}+bx+c= 0$ ($a≠0$)满足 $a+b+c= 0$,那么我们称这个方程为"凤凰"方程.已知 $ax^{2}+bx+c= 0$ ($a≠0$)是"凤凰"方程,且有一个根为-1,则下列结论正确的是 (C)
A.$a= c,b= 1$
B.$a= b,c= 0$
C.$a= -c,b= 0$
D.$a= b= c$

答案： C

2. 已知关于x的一元二次方程$x^{2}+bx+a= 0$有一个根是$-a(a≠0)$,则下列代数式的值恒为常数的是 (D)
A.$ab$
B.$\frac{a}{b}$
C.$a+b$
D.$a-b$

答案： D

3. 若$x_{0}$是关于x的方程$ax^{2}+2x+c= 0(a≠0)$的一个根,设$M= 2-ac,N= (ax_{0}+1)^{2}$,则M与N的大小关系是 (A)
A.$M＞N$
B.$M= N$
C.$M＜N$
D.不确定

答案： A

4. 已知关于x的一元二次方程$m(x-h)^{2}-k= 0$(m,h,k均为常数且$m≠0$)的解是$x_{1}= 3,x_{2}= 6$,则关于x的一元二次方程$m(x-h-1)^{2}= k$的解是 (C)
A.$x_{1}= -3,x_{2}= -6$
B.$x_{1}= -4,x_{2}= -7$
C.$x_{1}= 4,x_{2}= 7$
D.$x_{1}= 3,x_{2}= 6$

答案： C 提示:令y=x-1,则m(y-h)²=k与m(x-h)²=k有相同的解,即y₁=3,y₂=6,所以关于x的一元二次方程m(x-h-1)²=k的解为x₁=4,x₂=7.

5. 已知两个关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0和cx^{2}+bx+a= 0$,其中a,b,c是常数,且$a+c= 0$.如果$x= 2是方程ax^{2}+bx+c= 0$的一个根,那么下列各数中,一定是方程$cx^{2}+bx+a= 0$的根的是 (D)
A.$\pm 2$
B.$-\frac{1}{2}$
C.2
D.-2

答案： D 提示:由条件可知,a≠0,c≠0.因为a+c=0,所以$\frac{c}{a}=-1$.所以题中所给的两个一元二次方程可化为$x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$,$\frac{c}{a}x^{2}+\frac{b}{a}x+1=0$,即$x^{2}+\frac{b}{a}x-1=0$,$x^{2}-\frac{b}{a}x-1=0$.因为x=2是方程$x^{2}+\frac{b}{a}x-1=0$的一个根,所以x=-2是方程$x^{2}-\frac{b}{a}x-1=0$的一个根.

6. 已知m,n都是方程$x^{2}+220x-222= 0$的根,则$(m^{2}+220m-221)(n^{2}+220n-223)$的值为-1.

答案： -1

7. 已知$a-2b+4c= 0$,则关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0$必有一个根为$x=-\frac{1}{2}$.

答案： $x=-\frac{1}{2}$

8. 已知m为实数,若关于x的方程$x^{2}-3x+m= 0$的一个根的相反数是方程$x^{2}+3x-3= 0$的一个根,则m的值是-3.

答案： -3 提示:设a是方程$x^{2}+3x-3=0$的一个根,则$a^{2}+3a-3=0$,$(-a)^{2}-3(-a)+m=0$,所以m=-3.

9. 已知a是方程$2x^{2}+x-1= 0$的一个根,求下列代数式的值:
(1)$4a^{2}+2a+2024=$2026;
(2)$2a^{3}+a^{2}+2024-a=$2024;
(3)$2+\frac{1}{a}-\frac{1}{a^{2}}+2024=$2024;
(4)$2a^{2}+3a+\frac{1}{2a^{2}-1}+2024=$2024.

答案：
(1) 2026
(2) 2024
(3) 2024
(4) 2024 提示:因为a是方程$2x^{2}+x-1=0$的一个根,所以$2a^{2}+a-1=0$,且a≠0,所以$2a^{2}+a=1$,$\frac{1}{a}-\frac{1}{a^{2}}=-2$.
(1)原式=$2(2a^{2}+a)+2024=2×1+2024=2026$;
(2)原式=$a(2a^{2}+a)+2024-a=a+2024-a=2024$;
(3)原式=$2+(-2)+2024=2024$;
(4)原式=$2a^{2}+a+2a-\frac{1}{a}+2024=1+2a-\frac{1}{a}+2024=\frac{2a^{2}+a-1}{a}+2024=2024$.

10. 我们把关于x的一元二次方程$a_{1}(x-h)^{2}+k= 0和a_{2}(x-h)^{2}+k= 0$称为"同族二次方程",若方程$2(y-1)^{2}+3= 0和ay^{2}+y+c= 0$是关于y的"同族二次方程",则c的值为$\frac{5}{2}$.

答案： $\frac{5}{2}$ 提示:因为方程$2(y-1)^{2}+3=0$和$ay^{2}+y+c=0$是关于y的"同族二次方程",所以$ay^{2}+y+c=0$可表示为$a(y-1)^{2}+3=0$,整理,得$ay^{2}-2ay+a+3=0$,所以-2a=1,$c=a+3$,解得$a=-\frac{1}{2}$,所以$c=-\frac{1}{2}+3=\frac{5}{2}$.