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1. 如图,⊙O的半径为2,点O到直线l的距离为3,P是直线l上的一个动点.若PB切⊙O于点B,则△PBO面积的最小值是 (
A.$\sqrt{13}$
B.$\sqrt{5}$
C.3
D.2
B
)A.$\sqrt{13}$
B.$\sqrt{5}$
C.3
D.2
答案：
B
2. 欧几里得被称为"几何之父",其著作《几何原本》的第二卷中记载了方程$x^{2}+4nx-9m^{2}= 0$的根的图形解法:如图,在⊙O中,CD为直径,⊙O的切线与CD的延长线交于点B,切点为A,连接AC,使AB= 3m,CD= 4n,则该方程的一个正根是 (
A.BD的长度
B.BO的长度
C.BC的长度
D.AC的长度
A
)A.BD的长度
B.BO的长度
C.BC的长度
D.AC的长度
答案：
A 提示:因为CD=4n,所以OD=AO=2n.在Rt△AOB中，由勾股定理，得AO²+AB²=BO².因为x²+4nx−9m²=0,所以x²+4nx=9m²,即x²+4nx=AB².所以x²+4nx=BO²−AO²=(BO+AO)(BO−AO)=(BD+OD+AO)(BD+OD−AO)=(BD+4n)·BD,所以x可取BD的长度.
3. (无锡市锡山区期中)如图,在矩形ABCD中,AD= 8,E是边AB上一点,且AE= $\frac{1}{4}$AB.已知⊙O经过点E,与边CD所在直线相切于点G(∠GEB为锐角),与边AB所在直线交于另一点F,且EG∶EF= $\sqrt{5}$∶2.当边AD或BC所在直线与⊙O相切时,AB的长是 (
A.9
B.4
C.12或4
D.12或9
C
)A.9
B.4
C.12或4
D.12或9
答案：
C 提示:如图1,当边BC所在直线与⊙O相切于点K时，过点G作GN⊥AB，垂足为N,则点O在GN上,且EN=NF,GN=AD=8.因为EG:EF=√5:2,所以EG:EN=√5:1.设EN=x,则EG=√5x.在Rt△GEN中,由勾股定理,得EG²−EN²=GN²,即(√5x)²−x²=8²,解得x=4(负值已舍).所以EN=4,EG=4√5.设⊙O的半径为r.连接OE,OK.在Rt△ONE中,由勾股定理，得OE²=EN²+ON²,即r²=4²+(8−r)²,解得r=5.所以OK=OE=5.易证四边形ONBK为矩形,所以NB=OK=5.所以EB=EN+NB=9.又因为AE=1/4AB,所以EB=3/4AB,所以AB=12.如图2,当边AD所在直线与⊙O相切于点H时，过点G作GN⊥AB交AB所在直线于点N,连接OH,同理,EN=4,AN=OH=5.所以AE=AN−EN=1.又因为AE=1/4AB,所以AB=4.
4. 如图,半径为1的⊙O与直线l相切于点A,C为⊙O上的一点,CB⊥l于点B,则AB+BC的最大值是 (
A.2
B.$\frac{1}{2}+\sqrt{3}$
C.$\sqrt{2}+1$
D.$2+\frac{\sqrt{2}}{2}$
C
)A.2
B.$\frac{1}{2}+\sqrt{3}$
C.$\sqrt{2}+1$
D.$2+\frac{\sqrt{2}}{2}$
答案：
C 提示:延长AB至点D,使BD=BC,则AB+BC=AD,连接AO并延长，交DC的延长线于点E.因为⊙O与直线l相切于点A,所以OA⊥l,所以∠OAD=90°.因为CB⊥l,所以∠DBC=90°.因为BD=BC,所以∠CDB=45°.所以∠AED=45°,所以AD=AE.过点O作OF⊥DE于点F,则OE=√2OF.所以AD=AE=AO+OE=1+√2OF,所以当OF的长最大时,AD的长最大.当DC与⊙O相切时(点C与点F重合),AD的长最大,此时OF=1,所以AD=1+√2.所以AB+BC的最大值是√2+1.
5. 如图,在△ABC中,∠ACB= 90°,AC= BC= $\sqrt{2}$,D是边AB上的一个动点,以点D为圆心,r为半径作⊙D,直线BC与⊙D相切于点E.若点E关于CD的对称点F恰好落在边AB上,则r的值是 (
A.$\sqrt{2}-1$
B.1
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{2}+1$
A
)A.$\sqrt{2}-1$
B.1
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{2}+1$
答案：
A 提示:连接CF,DE,EF,则DE⊥BC,所以∠CED=∠BED=90°.因为点F与点E关于CD对称,所以CD垂直平分EF,所以△CDE≌△CDF,所以∠CFD=∠CED=90°,所以CF⊥AB.又因为AC=BC=√2,所以BF=AF.易知△ACF为等腰直角三角形,CE=CF=AF=1,∠EDB=∠B=45°,所以r=DE=BE=BC−CE=√2−1.
6. (浙江省自主招生)如图,在△ABC中,∠C= 90°,AC= 8,AB= 10,点P在边AC上,AP= 3.若⊙O的圆心在线段BP上,且⊙O与AB,AC都相切,则⊙O的半径是______
18/13
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答案：
18/13 提示:易得BC=6.连接OC,AO,过点O分别作OD⊥AC于点D,OE⊥AB于点E.设圆半径为r,则OD=OE=r.因为S△APB=S△AOB+S△AOP,所以AP·BC=(AB+AP)r,解得r=18/13.
7. (盐城市滨海县期中)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(5,3),⊙A与x轴相切,点P在y轴的正半轴上,PB与⊙A相切于点B.若∠APB= 30°,则点P的坐标为
(0,3+√11)
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答案：
(0,3+√11) 提示:因为⊙A与x轴相切，点A(5,3),所以⊙A的半径为3.连接AB,则∠ABP=90°.由∠APB=30°,可得AP=6.过点A作AD⊥y轴于点D,则AD=5,DO=3.在Rt△ADP中，由勾股定理，得PD=√(AP²−AD²)=√11.因为点P在y轴的正半轴上,所以OP=DO+PD=3+√11,所以点P的坐标为(0,3+√11).
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