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12. 某公司1月初以20元/套的价格购进了某种毛坯件12000套,精加工后,产品在2月份进行试销.
(1)若售价为40元/套,则可全部售出；每套每涨价0.1元,销售量就减少2套.据了解,该公司在2月份销售了不低于11800套此种产品,则该产品的售价最高为多少？
(2)由于2月份该产品热销,2月底该公司再次购进此种毛坯件,此次进价比1月初的进价每套增加了35%,精加工后,在4月份进行销售,4月份的销售量比1月初的进货量增加了$a\%$($a＞0$),但售价比2月份在(1)条件下的最高售价减少了$\frac{2}{5}a\%$,结果4月份此种产品的利润为252000元,求a的值.
(1)若售价为40元/套,则可全部售出；每套每涨价0.1元,销售量就减少2套.据了解,该公司在2月份销售了不低于11800套此种产品,则该产品的售价最高为多少？
(2)由于2月份该产品热销,2月底该公司再次购进此种毛坯件,此次进价比1月初的进价每套增加了35%,精加工后,在4月份进行销售,4月份的销售量比1月初的进货量增加了$a\%$($a＞0$),但售价比2月份在(1)条件下的最高售价减少了$\frac{2}{5}a\%$,结果4月份此种产品的利润为252000元,求a的值.
答案：
$(1)$求产品的最高售价
设产品的售价为$x$元/套。
已知售价为$40$元/套时可全部售出，每套每涨价$0.1$元，销售量就减少$2$套，那么销售量为$12000 - \frac{x - 40}{0.1}×2$套。
因为该公司在$2$月份销售了不低于$11800$套此种产品，所以可列不等式：
$12000 - \frac{x - 40}{0.1}×2\geq11800$
解这个不等式：
$\begin{aligned}12000 - \frac{x - 40}{0.1}×2&\geq11800\\12000-20(x - 40)&\geq11800\\12000-20x + 800&\geq11800\\-20x&\geq11800 - 12000 - 800\\-20x&\geq - 1000\\x&\leq50\end{aligned}$
所以该产品的售价最高为$50$元/套。
$(2)$求$a$的值
步骤一：计算$4$月份的进价、售价和销售量
$1$月初进价为$20$元/套，$2$月底进价比$1$月初每套增加了$35\%$，则$4$月份进价为$20×(1 + 35\%)=20×1.35 = 27$元/套。
由$(1)$知$2$月份最高售价为$50$元/套，$4$月份售价比$2$月份最高售价减少了$\frac{2}{5}a\%$，则$4$月份售价为$50×(1 - \frac{2}{5}a\%)=50 - 20a\%$元/套。
$1$月初进货量为$12000$套，$4$月份销售量比$1$月初进货量增加了$a\%$，则$4$月份销售量为$12000×(1 + a\%)=12000 + 120a$套。
步骤二：根据利润公式列方程并求解
根据“利润$=$（售价$-$进价）$×$销售量”，已知$4$月份利润为$252000$元，可列方程：
$[50×(1 - \frac{2}{5}a\%)-20×(1 + 35\%)]×12000×(1 + a\%)=252000$
设$t = a\%$，则方程化为$[50×(1 - \frac{2}{5}t)-20×1.35]×12000×(1 + t)=252000$
$\begin{aligned}(50 - 20t - 27)×12000×(1 + t)&=252000\\(23 - 20t)×(1 + t)&=21\\23 + 23t - 20t - 20t^{2}&=21\\- 20t^{2}+3t + 2&=0\\20t^{2}-3t - 2&=0\\(4t + 1)(5t - 2)&=0\end{aligned}$
解得$t_{1}=-\frac{1}{4}$（舍去，因为$a\gt0$，所以$t\gt0$），$t_{2}=\frac{2}{5}$。
因为$t = a\%$，所以$a\%=\frac{2}{5}$，则$a = 40$。
综上，答案为$(1)$$\boldsymbol{50}$元/套；$(2)$$\boldsymbol{40}$。
设产品的售价为$x$元/套。
已知售价为$40$元/套时可全部售出，每套每涨价$0.1$元，销售量就减少$2$套，那么销售量为$12000 - \frac{x - 40}{0.1}×2$套。
因为该公司在$2$月份销售了不低于$11800$套此种产品，所以可列不等式：
$12000 - \frac{x - 40}{0.1}×2\geq11800$
解这个不等式：
$\begin{aligned}12000 - \frac{x - 40}{0.1}×2&\geq11800\\12000-20(x - 40)&\geq11800\\12000-20x + 800&\geq11800\\-20x&\geq11800 - 12000 - 800\\-20x&\geq - 1000\\x&\leq50\end{aligned}$
所以该产品的售价最高为$50$元/套。
$(2)$求$a$的值
步骤一：计算$4$月份的进价、售价和销售量
$1$月初进价为$20$元/套，$2$月底进价比$1$月初每套增加了$35\%$，则$4$月份进价为$20×(1 + 35\%)=20×1.35 = 27$元/套。
由$(1)$知$2$月份最高售价为$50$元/套，$4$月份售价比$2$月份最高售价减少了$\frac{2}{5}a\%$，则$4$月份售价为$50×(1 - \frac{2}{5}a\%)=50 - 20a\%$元/套。
$1$月初进货量为$12000$套，$4$月份销售量比$1$月初进货量增加了$a\%$，则$4$月份销售量为$12000×(1 + a\%)=12000 + 120a$套。
步骤二：根据利润公式列方程并求解
根据“利润$=$（售价$-$进价）$×$销售量”，已知$4$月份利润为$252000$元，可列方程：
$[50×(1 - \frac{2}{5}a\%)-20×(1 + 35\%)]×12000×(1 + a\%)=252000$
设$t = a\%$，则方程化为$[50×(1 - \frac{2}{5}t)-20×1.35]×12000×(1 + t)=252000$
$\begin{aligned}(50 - 20t - 27)×12000×(1 + t)&=252000\\(23 - 20t)×(1 + t)&=21\\23 + 23t - 20t - 20t^{2}&=21\\- 20t^{2}+3t + 2&=0\\20t^{2}-3t - 2&=0\\(4t + 1)(5t - 2)&=0\end{aligned}$
解得$t_{1}=-\frac{1}{4}$（舍去，因为$a\gt0$，所以$t\gt0$），$t_{2}=\frac{2}{5}$。
因为$t = a\%$，所以$a\%=\frac{2}{5}$，则$a = 40$。
综上，答案为$(1)$$\boldsymbol{50}$元/套；$(2)$$\boldsymbol{40}$。
13.(盐城市盐都区期中)定义：若关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)$的两个实数根分别为$x_{1},x_{2}(x_{1}\leq x_{2})$,则把$P(x_{1},x_{2})$称为该一元二次方程的“友好点”.
(1)若方程为$x^{2}-3x+2= 0$,则该方程的“友好点”P的坐标为
(2)若关于x的一元二次方程$x^{2}-(5m+1)x+5m= 0$的“友好点”为P,过点P向x轴和y轴作垂线,两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形,求m的值.
(3)是否存在b,c,使得不论$k(k≠0)$为何值,关于x的方程$x^{2}+bx+c= 0$的“友好点”P始终在函数$y= kx+2k+3$的图像上？若存在,请求出b,c的值；若不存在,请说明理由.
(1)若方程为$x^{2}-3x+2= 0$,则该方程的“友好点”P的坐标为
(1,2)
.(2)若关于x的一元二次方程$x^{2}-(5m+1)x+5m= 0$的“友好点”为P,过点P向x轴和y轴作垂线,两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形,求m的值.
$m=\pm\frac{1}{5}$
(3)是否存在b,c,使得不论$k(k≠0)$为何值,关于x的方程$x^{2}+bx+c= 0$的“友好点”P始终在函数$y= kx+2k+3$的图像上？若存在,请求出b,c的值；若不存在,请说明理由.
存在，$b=-1$，$c=-6$
答案：
1. （1）
对于方程$x^{2}-3x + 2 = 0$，分解因式得$(x - 1)(x - 2)=0$。
则$x-1 = 0$或$x - 2 = 0$，解得$x_{1}=1$，$x_{2}=2$。
所以“友好点”$P$的坐标为$(1,2)$。
2. （2）
对于方程$x^{2}-(5m + 1)x + 5m = 0$，分解因式得$(x - 5m)(x - 1)=0$。
则$x-5m = 0$或$x - 1 = 0$，解得$x_{1}=1$，$x_{2}=5m$。
因为过点$P(x_{1},x_{2})$向$x$轴和$y$轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，所以$\vert x_{1}\vert=\vert x_{2}\vert$。
当$5m = 1$时，$m=\frac{1}{5}$；当$5m=-1$时，$m =-\frac{1}{5}$。
3. （3）
因为$y = kx+2k + 3=k(x + 2)+3$，当$x=-2$时，$y = 3$，所以函数$y = kx+2k + 3$的图象恒过定点$(-2,3)$。
所以“友好点”$P(-2,3)$。
对于方程$x^{2}+bx + c = 0$，由韦达定理$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$（$a = 1$）。
已知$x_{1}=-2$，$x_{2}=3$，则$b=-(x_{1}+x_{2})=-(-2 + 3)=-1$，$c=x_{1}x_{2}=-2×3=-6$。
综上，答案依次为：（1）$(1,2)$；（2）$m=\pm\frac{1}{5}$；（3）存在，$b=-1$，$c=-6$。
对于方程$x^{2}-3x + 2 = 0$，分解因式得$(x - 1)(x - 2)=0$。
则$x-1 = 0$或$x - 2 = 0$，解得$x_{1}=1$，$x_{2}=2$。
所以“友好点”$P$的坐标为$(1,2)$。
2. （2）
对于方程$x^{2}-(5m + 1)x + 5m = 0$，分解因式得$(x - 5m)(x - 1)=0$。
则$x-5m = 0$或$x - 1 = 0$，解得$x_{1}=1$，$x_{2}=5m$。
因为过点$P(x_{1},x_{2})$向$x$轴和$y$轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，所以$\vert x_{1}\vert=\vert x_{2}\vert$。
当$5m = 1$时，$m=\frac{1}{5}$；当$5m=-1$时，$m =-\frac{1}{5}$。
3. （3）
因为$y = kx+2k + 3=k(x + 2)+3$，当$x=-2$时，$y = 3$，所以函数$y = kx+2k + 3$的图象恒过定点$(-2,3)$。
所以“友好点”$P(-2,3)$。
对于方程$x^{2}+bx + c = 0$，由韦达定理$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$（$a = 1$）。
已知$x_{1}=-2$，$x_{2}=3$，则$b=-(x_{1}+x_{2})=-(-2 + 3)=-1$，$c=x_{1}x_{2}=-2×3=-6$。
综上，答案依次为：（1）$(1,2)$；（2）$m=\pm\frac{1}{5}$；（3）存在，$b=-1$，$c=-6$。
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