《2025年小题狂做九年级数学上册苏科版巅峰版》

10. (2024 南京市秦淮区期中)一元二次方程的根有3种情况,分别是有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根以及没有实数根.基于上述认识,我们继续探索“$M\cdot N= 0$”型的方程(M,N都是只含x的整式)的根的情况.
(1)当$M= x^{2}+2x-3,N= x-1$时,该类型方程的根的情况是(B)
A. 有三个实数根,它们各不相等
B. 有三个实数根,有且只有两个根相等
C. 有三个实数根,它们都相等
D. 没有实数根
(2)给出下列“$M\cdot N= 0$”型的方程：
①$(x^{2}-2x+1)(2x^{2}-4x+2)= 0;$
②$(x^{2}-4x+4)(x^{2}-6x+9)= 0;$
③$(x^{2}+4x)(x^{2}-4x)= 0;$
④$(x^{2}+3x+2)(x^{2}+8x+15)= 0;$
⑤$(x^{2}-36)(x^{2}-12x+36)= 0.$
至少有两个相等的实数根的方程是______①②③⑤______(填序号).
(3)当$M= x^{2}+3x+c,N= x^{2}-3x+c$(c是常数)时,求该类型方程的根的情况及对应的c的取值范围.
解:由题意,得M·N=(x²+3x+c)(x²-3x+c)=0.①当根的判别式9-4c＜0,即c＞9/4时,(x²+3x+c)(x²-3x+c)=0没有实数根.②当根的判别式9-4c≥0,即c≤9/4时,(x²+3x+c)(x²-3x+c)=0有四个实数根,且x²+3x+c=0或x²-3x+c=0,分别解得x₁=(-3+√(9-4c))/2,x₂=(-3-√(9-4c))/2,x₃=(3+√(9-4c))/2,x₄=(3-√(9-4c))/2.当c＜9/4且c≠0时,该方程有四个实数根且互不相等(即x₁,x₂,x₃,x₄互不相等);当c=0时,该方程的四个实数根有且只有两个根相等(即x₁,x₂,x₃互不相等,x₁=x₄);当c=9/4时,该方程的四个实数根中有两个根相等,另外两个根也相等,但它们不全相等(即x₁=x₂,x₃=x₄,x₁≠x₃).

答案：
(1)B 提示:M·N=(x²+2x-3)(x-1)=(x+3)(x-1)²=0.所以x+3=0或(x-1)²=0.解得x₁=-3,x₂=x₃=1.
(2)①②③⑤ 提示:①(x²-2x+1)(2x²-4x+2)=0中x²-2x+1=0,则根的判别式(-2)²-4×1×1=0,所以x²-2x+1=0有两个相等的实数根,所以①符合题意;②(x²-4x+4)(x²-6x+9)=0中x²-4x+4=0,则根的判别式(-4)²-4×1×4=0,所以x²-4x+4=0有两个相等的实数根,所以②符合题意;③(x²+4x)(x²-4x)=0,则x²+4x=0或x²-4x=0,分别解得x₁=0,x₂=-4,x₃=0,x₄=4,所以③符合题意;④(x²+3x+2)(x²+8x+15)=0,则x²+3x+2=0或x²+8x+15=0,分别解得x₁=-1,x₂=-2,x₃=-3,x₄=-5,所以④不符合题意;⑤(x²-36)(x²-12x+36)=0中x²-12x+36=0,则根的判别式(-12)²-4×1×36=0,所以x²-12x+36=0有两个相等的实数根,所以⑤符合题意.
(3)解:由题意,得M·N=(x²+3x+c)(x²-3x+c)=0.①当根的判别式9-4c＜0,即c＞9/4时,(x²+3x+c)(x²-3x+c)=0没有实数根.②当根的判别式9-4c≥0,即c≤9/4时,(x²+3x+c)(x²-3x+c)=0有四个实数根,且x²+3x+c=0或x²-3x+c=0,分别解得x₁=(-3+√(9-4c))/2,x₂=(-3-√(9-4c))/2,x₃=(3+√(9-4c))/2,x₄=(3-√(9-4c))/2.当c＜9/4且c≠0时,该方程有四个实数根且互不相等(即x₁,x₂,x₃,x₄互不相等);当c=0时,该方程的四个实数根有且只有两个根相等(即x₁,x₂,x₃互不相等,x₁=x₄);当c=9/4时,该方程的四个实数根中有两个根相等,另外两个根也相等,但它们不全相等(即x₁=x₂,x₃=x₄,x₁≠x₃).

11. 若关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0(a≠0$且a为整数)的根均为整数,则称方程为“快乐方程”.通过计算发现,任何一个“快乐方程”的判别式$b^{2}-4ac$一定为完全平方数.现规定$F(a,b,c)= \frac {4ac-b^{2}}{4a}$为该“快乐方程”的“快乐数”.例如“快乐方程”$x^{2}-3x-4= 0$的两根均为整数,其“快乐数”$F(1,-3,-4)= \frac {4×1×(-4)-(-3)^{2}}{4×1}= -\frac {25}{4}$,若有另一个“快乐方程”$px^{2}+qx+r= 0(p≠0)$的“快乐数”$F(p,q,r)$,且满足$r\cdot F(a,b,c)= c\cdot F(p,q,r)$,则称$F(a,b,c)与F(p,q,r)$互为“开心数”.
(1)“快乐方程”$x^{2}-2x-3= 0$的“快乐数”为______-4；
(2)若关于x的一元二次方程$x^{2}-(2m-1)x+m^{2}-2m-3= 0$(m为整数,且$1\lt m＜6$)是“快乐方程”,求m的值,并求该方程的“快乐数”；
方程x²-(2m-1)x+m²-2m-3=0的根的判别式为4m+13.因为1＜m＜6,所以17＜4m+13＜37,又因为方程x²-(2m-1)x+m²-2m-3=0是“快乐方程”,所以4m+13=25或4m+13=36,所以m=3,m=23/4(舍去),所以原方程可化为x²-5x=0,则F(1,-5,0)=(4×1×0-(-5)²)/(4×1)=-25/4.
(3)若关于x的一元二次方程$x^{2}-mx+m+1= 0与x^{2}-(n+2)x+2n= 0$(m,n均为整数)都是“快乐方程”,且其“快乐数”互为“开心数”,求n的值.
方程x²-mx+m+1=0的根的判别式为(-m)²-4(m+1)=(m-2)²-8.设(m-2)²-8=a²,则(m-2+a)(m-2-a)=8.又易知m-2+a与m-2-a同奇偶,所以{m-2+a=4,m-2-a=2或{m-2+a=2,m-2-a=4或{m-2+a=-4,m-2-a=-2或{m-2+a=-2,m-2-a=-4.解得m=5或m=-1,所以方程为x²-5x+6=0或x²+x=0.方程x²-(n+2)x+2n=0的根的判别式为(n-2)²,F(1,-n-2,2n)=(4×1×2n-(-n-2)²)/(4×1)=-(n-2)²/4.当m=5时,F(1,-5,6)=(4×1×6-(-5)²)/(4×1)=-1/4.因为两方程的“快乐数”互为“开心数”,所以-1/4×2n=6×[-(n-2)²/4],解得n=3或n=4/3(舍去).当m=-1时,F(1,1,0)=(4×1×0-1²)/(4×1)=-1/4.因为两方程的“快乐数”互为“开心数”,所以-1/4×2n=0×[-(n-2)²/4],解得n=0.综上所述,n的值为0或3.

答案：
(1)-4
(2)方程x²-(2m-1)x+m²-2m-3=0的根的判别式为4m+13.因为1＜m＜6,所以17＜4m+13＜37,又因为方程x²-(2m-1)x+m²-2m-3=0是“快乐方程”,所以4m+13=25或4m+13=36,所以m=3,m=23/4(舍去),所以原方程可化为x²-5x=0,则F(1,-5,0)=(4×1×0-(-5)²)/(4×1)=-25/4.
(3)方程x²-mx+m+1=0的根的判别式为(-m)²-4(m+1)=(m-2)²-8.设(m-2)²-8=a²,则(m-2+a)(m-2-a)=8.又易知m-2+a与m-2-a同奇偶,所以{m-2+a=4,m-2-a=2或{m-2+a=2,m-2-a=4或{m-2+a=-4,m-2-a=-2或{m-2+a=-2,m-2-a=-4.解得m=5或m=-1,所以方程为x²-5x+6=0或x²+x=0.方程x²-(n+2)x+2n=0的根的判别式为(n-2)²,F(1,-n-2,2n)=(4×1×2n-(-n-2)²)/(4×1)=-(n-2)²/4.当m=5时,F(1,-5,6)=(4×1×6-(-5)²)/(4×1)=-1/4.因为两方程的“快乐数”互为“开心数”,所以-1/4×2n=6×[-(n-2)²/4],解得n=3或n=4/3(舍去).当m=-1时,F(1,1,0)=(4×1×0-1²)/(4×1)=-1/4.因为两方程的“快乐数”互为“开心数”,所以-1/4×2n=0×[-(n-2)²/4],解得n=0.综上所述,n的值为0或3.