《2025年小题狂做九年级数学上册苏科版巅峰版》

7. 某公司组织部分员工分别到甲、乙、丙、丁四地考察,公司按定额购买了前往各地的车票.如图所示的是不完整的车票种类和相应数量的条形统计图,根据统计图回答下列问题：
(1)若去丁地的车票占全部车票的 10%,请求出去丁地的车票数量,并补全条形统计图.
(2)在(1)的条件下,如果公司采用随机抽取的方式发车票,小胡先从所有车票中随机抽取一张(所有车票的形状、大小和质地都完全相同),那么员工小胡抽到去甲地的车票的概率是多少？
(3)若有一张车票,小王和小李都想去,决定采取摸球的方式确定,具体规则如下：每人从不透明的袋子中摸出分别标有数字1,2,3,4 的四个球中的一个(球除数字不同外其他完全相同),并放回让另一人摸.若小王摸得的数字比小李的小,车票给小王；否则给小李.试用列表的方法分析这个规则对双方是否公平.

答案：
(1) 根据题意,得$(20 + 40 + 30)÷(1 - 10\%) = 100$(张),所以去丁地的车票数量为$100×10\% = 10$(张).补全条形统计图略.
(2) 员工小胡抽到去甲地的车票的概率为$\frac{20}{100}=\frac{1}{5}$.
(3) 列表如下:
| | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | (1,1) | (2,1) | (3,1) | (4,1) |
| 2 | (1,2) | (2,2) | (3,2) | (4,2) |
| 3 | (1,3) | (2,3) | (3,3) | (4,3) |
| 4 | (1,4) | (2,4) | (3,4) | (4,4) |
所有等可能的情况有16种,其中小王摸得的数字比小李的小的情况有6种:(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4).所以$P(小王摸得的数字比小李的小)=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$,所以$P(小王摸得的数字不小于小李的)=1-\frac{3}{8}=\frac{5}{8}$.因为$\frac{3}{8}＜\frac{5}{8}$,所以这个规则不公平.

8. 在平面直角坐标系 xOy 中,作$\triangle OAB$,其中三个顶点分别是点$O(0,0)$,$B(1,1)$,$A(x,y)$($-2\leqslant x\leqslant 2$,$-2\leqslant y\leqslant 2$,x,y 均为整数),则所作$\triangle OAB$为直角三角形的概率是______.

答案：
$\frac{2}{5}$ 提示:由条件可知,点A的坐标共有$5×5 = 25$(种)情况.当点A在直线OB上时,不能构成$△OAB$.所以能够构成$△OAB$的点A坐标的所有可能为$25 - 5 = 20$(种),其中能够使$△OAB$为直角三角形的可能共8种,如图所示.所以所求概率为$\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$.
　　　　

9. 一场数学游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行,裁判在黑板上写出正整数 2,3,4,…,206,然后随意擦去一个数,接下来由乙、甲两人轮流擦去其中一个数(即乙先擦去其中一个数,然后甲再擦去一个数).如此下去,若最后剩下的两个数互质,则判甲胜；否则,判乙胜.按照这种游戏规则,求甲获胜的概率(用具体数字作答).

答案： 解:获胜的关键,要看裁判擦去的是奇数还是偶数,2,3,4,…,206中有103个偶数,102个奇数.所以分两种情况.
①若裁判擦去的是奇数,则乙一定获胜.乙不管甲擦去什么数,只要有奇数,乙就擦去奇数(没有奇数时才擦去偶数),这样最后两个数一定都是偶数,它们不互质,故乙胜.
②若裁判擦去的是偶数$2m$($m$是正整数),则所剩的204个数可配成102对,每相邻的两个数配成一对,每对中两个数互质.这样不管乙擦去哪个数,甲都擦去与之配对的另一个数,最后剩下的两数必然是配成一对的两个数,它们互质,故甲胜.所以甲获胜的概率为$\frac{103}{205}$.