《2025年小题狂做九年级数学上册苏科版巅峰版》

12. 如图,在$\text{Rt}\triangle ABC$中,$\angle C= 90^{\circ}$,$AB= 10\ \text{cm}$,$AC= 8\ \text{cm}$. 点P从点A出发沿边AC以1 cm/s的速度向点C运动,同时点Q从点C出发沿边CB以1 cm/s的速度向点B运动,当一个点运动到终点时,该点停止运动,另一个点继续运动. 当两个点都到达终点时停止运动.
(1)经过多少秒,$\triangle CPQ的面积为\text{Rt}\triangle ABC面积的\frac {1}{8}$？
(2)填空：
①经过______s,点P在线段AB的垂直平分线上；
②经过______s,点Q在$\angle BAC$的平分线上.
(1)解:设经过x s，△CPQ的面积为Rt△ABC面积的$\frac{1}{8}$。在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC = $\sqrt{10² - 8²}$ = 6(cm)。由条件可知，点P运动的时间为8÷1 = 8(s)，点Q运动的时间为6÷1 = 6(s)。当0＜x≤6时，$\frac{1}{2}$x(8 - x) = $\frac{1}{8}$×$\frac{1}{2}$×8×6，解得x₁ = 4 - $\sqrt{10}$，x₂ = 4 + $\sqrt{10}$(舍去)；当6＜x≤8时，$\frac{1}{2}$×6×(8 - x) = $\frac{1}{8}$×$\frac{1}{2}$×8×6，解得x = 7。综上所述，经过(4 - $\sqrt{10}$)s或7 s，△CPQ的面积为Rt△ABC面积的$\frac{1}{8}$。
(2)①经过$\frac{25}{4}$s,点P在线段AB的垂直平分线上；
②经过$\frac{8}{3}$s,点Q在$\angle BAC$的平分线上.

答案： 解:
(1)设经过x s，△CPQ的面积为Rt△ABC面积的$\frac{1}{8}$。在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC = $\sqrt{10² - 8²}$ = 6(cm)。由条件可知，点P运动的时间为8÷1 = 8(s)，点Q运动的时间为6÷1 = 6(s)。当0＜x≤6时，$\frac{1}{2}$x(8 - x) = $\frac{1}{8}$×$\frac{1}{2}$×8×6，解得x₁ = 4 - $\sqrt{10}$，x₂ = 4 + $\sqrt{10}$(舍去)；当6＜x≤8时，$\frac{1}{2}$×6×(8 - x) = $\frac{1}{8}$×$\frac{1}{2}$×8×6，解得x = 7。综上所述，经过(4 - $\sqrt{10}$)s或7 s，△CPQ的面积为Rt△ABC面积的$\frac{1}{8}$。
(2)①$\frac{25}{4}$　提示:连接PB。设经过y s，点P在线段AB的垂直平分线上，则此时PA = PB = y cm。在Rt△PBC中，由勾股定理，得PB² = PC² + BC²，即y² = (8 - y)² + 6²，解得y = $\frac{25}{4}$。
②$\frac{8}{3}$　提示:连接AQ，过点Q作QD⊥AB于点D。设经过t s，点Q在∠BAC的平分线上，则QD = QC = t cm，BQ = (6 - t)cm。易证AD = AC = 8 cm。所以BD = 2 cm。在Rt△BDQ中，由勾股定理，得BQ² - QD² = BD²，即(6 - t)² - t² = 2²，解得t = $\frac{8}{3}$。

13. 某校举行冬季运动会,其中一个项目是乒乓球比赛,比赛为单循环制,即所有参赛选手彼此恰好比赛一场. 记分规则是：每场比赛胜者得3分,负者得0分,平局各得1分. 赛后统计,所有参赛者的得分总和为210分,且平局数不超过比赛总场数的$\frac {1}{3}$,则本次乒乓球比赛共有参赛选手13人.

答案： 13　提示:设共有a名参赛选手，所有比赛中有x场分出胜负，y场平局，则$\begin{cases}\frac{a(a - 1)}{2}=x + y&①\\3x + 2y = 210&②\\y\leqslant\frac{1}{3}(x + y)&③\end{cases}$，记x + y = t，则与②联立，得$\begin{cases}x = 210 - 2t\\y = 3t - 210\end{cases}$，代入③，得3t - 210≤$\frac{1}{3}$t，解得t≤$\frac{315}{4}$。又因为x≥0，y≥0，所以70≤t≤$\frac{315}{4}$。由①，得a² - a - 2t = 0。由根的判别式可知，561≤1 + 8t≤631，且1 + 8t为某个奇数的完全平方数，所以1 + 8t = 625。易得t = 78，解得a₁ = 13，a₂ = -12(舍去)。所以共有参赛选手13人。

14. 【背景资料】数学家高斯从小就善于思考,在计算$1+2+3+… +100$的问题上,他的方法是：原式$=\frac {1}{2}×(1+2+3+… +100+100+99+… +2+1)= \frac {1}{2}×(100+1)×100$.
【问题解决】
(1)请你直接写出结果：$1+2+3+… +(n-1)+n= $$\frac{n(n + 1)}{2}$.
(2)某公司从前年9月初开始销售中档家用汽车,当月销售额为b万元,以后逐月增加k万元,至开业一周年之际,已累计销售732万元. 至今年9月初该公司已累计销售1752万元,9月以后,行情猛涨,每月销售额均比上月增长25%,这种情况下,9月和10月的销售额之和正好等于开业初n个月的累计销售额,求n的值.
解:
(1)$\frac{n(n + 1)}{2}$
(2)根据题意，可列方程组为$\begin{cases}b+(b + k)+(b + 2k)+\cdots+(b + 11k)=732\\b+(b + k)+(b + 2k)+\cdots+(b + 23k)=1752\end{cases}$，整理，得$\begin{cases}12b + 66k = 732\\24b + 276k = 1752\end{cases}$，解得$\begin{cases}b = 50\\k = 2\end{cases}$。所以第n个月的销售额为b + (n - 1)k = 50 + 2(n - 1) = (2n + 48)万元，所以开业初n个月的累计销售额为$\frac{(50 + 2n + 48)n}{2}$ = (n² + 49n)万元。因为今年8月的销售额为2×24 + 48 = 96(万元)，所以96×(1 + 25%) + 96×(1 + 25%)² = n² + 49n。整理，得n² + 49n - 270 = 0，解得n₁ = 5，n₂ = -54(舍去)。所以n的值为5。

答案： 解:
(1)$\frac{n(n + 1)}{2}$
(2)根据题意，可列方程组为$\begin{cases}b+(b + k)+(b + 2k)+\cdots+(b + 11k)=732\\b+(b + k)+(b + 2k)+\cdots+(b + 23k)=1752\end{cases}$，整理，得$\begin{cases}12b + 66k = 732\\24b + 276k = 1752\end{cases}$，解得$\begin{cases}b = 50\\k = 2\end{cases}$。所以第n个月的销售额为b + (n - 1)k = 50 + 2(n - 1) = (2n + 48)万元，所以开业初n个月的累计销售额为$\frac{(50 + 2n + 48)n}{2}$ = (n² + 49n)万元。因为今年8月的销售额为2×24 + 48 = 96(万元)，所以96×(1 + 25%) + 96×(1 + 25%)² = n² + 49n。整理，得n² + 49n - 270 = 0，解得n₁ = 5，n₂ = -54(舍去)。所以n的值为5。