《2025年小题狂做九年级数学上册苏科版巅峰版》

10. 有六张正面分别标有数字0,1,2,3,4,5的不透明卡片,它们除了数字不同外其余全部相同. 现将它们背面朝上,洗匀后从中任取一张,将卡片上的数字记为a,则使关于x的方程$\frac{1-ax}{x-2}+2= \frac{1}{2-x}$有正整数解的概率为$\frac{1}{6}$.

答案： $\frac{1}{6}$

11. 如图,已知$□ ABCD$,过点A作$AH\perp CD$于点H,$AB= 8$,$AH= 4$. 若在平行四边形内取一点,则该点到平行四边形四个顶点的距离均大于1的概率为$1-\frac{\pi}{32}$.

答案： $1-\frac{\pi}{32}$ 提示:因为四边形ABCD是平行四边形,所以$\angle BAD+\angle B+\angle C+\angle D=360^{\circ}$,$CD=AB=8$.分别以点A,B,C,D为圆心,1为半径作圆，如图所示，则符合题意的点应落在图中阴影部分.易知四个圆在平行四边形内的扇形的面积之和为$\pi×1^{2}=\pi$.因为$AH\perp CD$,所以平行四边形ABCD的面积为$CD\cdot AH=8×4=32$.所以阴影部分的面积为$32-\pi$.所以所求概率为$\frac{32-\pi}{32}=1-\frac{\pi}{32}$.

12. 我们对一个三角形的顶点和边都赋给一个特征值,并定义：从任意顶点出发,沿顺时针或逆时针方向依次将顶点和边的特征值相乘,再把三个乘积相加,所得之和称为此三角形的“顺序旋转和”或“逆序旋转和”. 如图1,$ar+cq+bp$是该三角形的“顺序旋转和”,$ap+bq+cr$是该三角形的“逆序旋转和”. 已知某三角形的特征值如图2所示,若从1,2,3中任取一个数作为x,从1,2,3,4中任取一个数作为y,则对任意正整数z,此三角形的“顺序旋转和”与“逆序旋转和”之差都小于4的概率是______$\frac{3}{4}$.

答案： $\frac{3}{4}$ 提示:该三角形的“顺序旋转和”与“逆序旋转和”之差为$(4x+2z+3y)-(3x+2y+4z)=x+y-2z$.画树状图如图所示.当$x+y-2z＜4$,即$x+y＜4+2z$对任意正整数z都成立时,必有$x+y＜6(z=1)$.所以此三角形的“顺序旋转和”与“逆序旋转和”之差都小于4的概率为$\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$.

13. (徐州市模拟)在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球,其中红球4个,黑球6个.
(1)先从袋子中取出$m(m＞1)$个红球,再从袋子中随机摸出1个球,将“摸出黑球”记为事件A,请完成下列表格：
 

42或3
(2)先从袋子中取出m个红球,再放入m个一样的黑球并摇匀,随机摸出1个黑球的概率等于$\frac{4}{5}$,求m的值.
解:根据题意,得$\frac{6+m}{10}=\frac{4}{5}$,解得$m=2$.

答案：
(1) 4 2或3
(2) 解:根据题意,得$\frac{6+m}{10}=\frac{4}{5}$,解得$m=2$.

14. (淮安市淮阴区模拟)有A,B两个不透明的布袋：A袋中有两个完全相同的小球,分别标有数字0和$-2$；B袋中有三个完全相同的小球,分别标有数字$-2$,0和1. 小明从A袋中随机取出一个小球,记录标有的数字为x,再从B袋中随机取出一个小球,记录标有的数字为y,这样确定了点Q的坐标$(x,y)$.
(1)写出点Q所有可能的坐标.
(2)求点Q在x轴上的概率.
(3)在平面直角坐标系xOy中,$\odot O$的半径是2,求过点Q能作$\odot O$切线的概率.

答案：
(1) 点Q所有可能的坐标有(0,-2),(0,0),(0,1),(-2,-2),(-2,0),(-2,1).
(2) 易知点Q在x轴上的坐标有(0,0),(-2,0),所以点Q在x轴上的概率为$\frac{1}{3}$.
(3) 因为$\odot O$的半径是2,当点Q坐标为(0,-2),(-2,-2),(-2,0),(-2,1)时,过点Q能作$\odot O$切线.所以过点Q能作$\odot O$切线的概率为$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.