《2025年小题狂做九年级数学上册苏科版巅峰版》

1. 已知一元二次方程$x^{2}+bx+c= 0的两个根分别是x_{1}= 2,x_{2}= 3$,则二次三项式$x^{2}+bx+c$因式分解的结果为 (B)
A.$(x+2)(x+3)$
B.$(x-2)(x-3)$
C.$(x+2)(x-3)$
D.$(x-2)(x+3)$

答案： B

2. 已知$a,b,c满足a^{2}+b^{2}+c^{2}-4a-2b+2c+6= 0$,则$a+b-c$的值是 (B)
A.5
B.4
C.3
D.2

答案： B 提示:因为$a^{2}+b^{2}+c^{2}-4a-2b+2c+6=0$,所以$a^{2}-4a+4+b^{2}-2b+1+c^{2}+2c+1=0$.所以$(a-2)^{2}+(b-1)^{2}+(c+1)^{2}=0$.所以$a-2=0$,$b-1=0$,$c+1=0$.所以$a=2$,$b=1$,$c=-1$.所以$a+b-c=2+1+1=4$.

3. 对于实数$m,n$,定义一种新运算“⊗”:m⊗$n= \left\{\begin{array}{l} m^{2}+m+n(m\geqslant n),\\ n^{2}+m+n(m＜n)\end{array} \right.$ 若$x\otimes (-2)= 10$,则实数$x$的值为 (A)
A.3
B.-4
C.8
D.3或8

答案： A

4. 关于$x的一元二次方程ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)$,有下列说法:①若$b= 2\sqrt {ac}$,则方程$ax^{2}+bx+c= 0$一定有两个相等的实数根;②若方程$ax^{2}+bx+c= 0$有两个不相等的实数根,则方程$x^{2}-bx+ac= 0$也一定有两个不相等的实数根;③若$c是方程ax^{2}+bx+c= 0$的一个根,则一定有$ac+b+1= 0$成立;④若$x_{0}是一元二次方程ax^{2}+bx+c= 0$的一个根,则$b^{2}-4ac= (2ax_{0}+b)^{2}$.其中说法正确的是 (B)
A.①②③
B.①②④
C.①②③④
D.③④

答案： B

5. 对于实数$p,q$,用符号$min\{ p,q\}$表示两数中较小的数,如$min\{ 1,2\} = 1$.若$min\{ (x-1)^{2},x^{2}\} = 1$,则$x$的值为2 或-1.

答案： 2 或-1 提示:当$(x-1)^{2}\leqslant x^{2}$,即$x\geqslant \frac{1}{2}$时,由$(x-1)^{2}=1$,解得$x_{1}=2$,$x_{2}=0$(舍去);当$(x-1)^{2}＞x^{2}$,即$x＜\frac{1}{2}$时,由$x^{2}=1$,解得$x_{1}=-1$,$x_{2}=1$(舍去).综上所述,$x$的值为 2 或-1.

6. 若关于$x的方程(1-m^{2})x^{2}+2mx-1= 0$的所有根都是比1小的正实数,则实数$m$的取值范围是______$m=1$或$m＞2$.

答案： $m=1$或$m＞2$ 提示:当$1-m^{2}=0$时,$m=\pm 1$.当$m=1$时,$x=\frac{1}{2}$,符合题意;当$m=-1$时,$x=-\frac{1}{2}$,不符合题意,舍去.当$1-m^{2}\neq 0$时,原方程可化为$[(1+m)x-1][(1-m)x+1]=0$,所以$x_{1}=\frac{1}{1+m}$,$x_{2}=-\frac{1}{1-m}$.由条件可知,$0＜\frac{1}{1+m}＜1$,解得$m＞0$;$0＜-\frac{1}{1-m}＜1$,解得$m＞2$.综上所述,实数$m$的取值范围是$m=1$或$m＞2$.

7. 若关于$x的方程x^{2}+2(1+a)x+3a^{2}+4ab+4b^{2}+2= 0$有实数根,则$\frac {b}{a}=$$-\frac{1}{2}$.

答案： $-\frac{1}{2}$

8. 已知关于$x的方程x^{2}+ax+b= 0(b≠0)与x^{2}+cx+d= 0$都有实数根,若这两个方程有且只有一个公共根,且$ab= cd$,则称它们互为“同根轮换方程”.若关于$x的方程x^{2}+4x+m= 0与x^{2}-6x+n= 0$互为“同根轮换方程”,则$m$的值为______-12.

答案： -12 提示:由题意,可知$4m=-6n$,所以$n=-\frac{2}{3}m$ ①.设$t$是公共根,则有$t^{2}+4t+m=0$,$t^{2}-6t+n=0$,解得$t=\frac{n-m}{10}$ ②.将①代入②,得$t=-\frac{1}{6}m$ ③.将③代入$t^{2}+4t+m=0$,得$(-\frac{1}{6}m)^{2}+4(-\frac{1}{6}m)+m=0$.整理,得$m^{2}+12m=0$,解得$m_{1}=0$,$m_{2}=-12$.又因为$b\neq 0$,即$m\neq 0$,所以$m=-12$.

9. 若关于$x的方程(a-1)x^{2}+2x-a-1= 0$的解都是整数,则满足条件的所有整数$a$的值为-1,0,1,2,3.

答案： -1,0,1,2,3 提示:当$a=1$时,该方程的解为$x=1$,符合题意;当$a\neq 1$时,该方程的解为$x=\frac{-2\pm 2a}{2(a-1)}$,即$x_{1}=1$,$x_{2}=\frac{-a-1}{a-1}=\frac{-(a-1)-2}{a-1}=-1-\frac{2}{a-1}$,所以要使方程的解为整数,则整数$a=-1$,0,2,3.综上所述,满足条件的所有整数$a$的值为-1,0,1,2,3.

10. 如果关于$x的一元二次方程ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)$有两个实数根,且其中一个根为另一个根的2倍,那么称这样的方程为“倍根方程”.例如:一元二次方程$x^{2}-6x+8= 0的两个根分别是x_{1}= 2和x_{2}= 4$,则方程$x^{2}-6x+8= 0$是“倍根方程”.
(1) 根据上述定义,一元二次方程$2x^{2}+x-1= 0$______“倍根方程”(填“是”或“不是”);
(2) 若一元二次方程$x^{2}-3x+c= 0$是“倍根方程”,求$c$的值;
(3) 若关于$x的方程(x-2)(mx-n)= 0(m≠0)$是“倍根方程”,求代数式$4m^{2}-5mn+n^{2}$的值.
[答案]：解:
(1)不是
(2)由题意,可设$d$与$2d$是方程$x^{2}-3x+c=0$的两个根,所以$d^{2}-3d+c=0$ ①,$4d^{2}-6d+c=0$ ②.由②-①×4 可得$c=2d$ ③.将③代入①,得$d^{2}-3d+2d=0$,即$d^{2}-d=0$,解得$d_{1}=1$,$d_{2}=0$(舍去).所以$c=2d=2$.
(3)解方程$(x-2)(mx-n)=0(m\neq 0)$,得$x_{1}=2$,$x_{2}=\frac{n}{m}$.根据题意,得$\frac{n}{m}=4$或$\frac{n}{m}=1$,所以$n=4m$或$n=m$.易得原式$=(m-n)(4m-n)=0$.

答案： 解:
(1)不是
(2)由题意,可设$d$与$2d$是方程$x^{2}-3x+c=0$的两个根,所以$d^{2}-3d+c=0$ ①,$4d^{2}-6d+c=0$ ②.由②-①×4 可得$c=2d$ ③.将③代入①,得$d^{2}-3d+2d=0$,即$d^{2}-d=0$,解得$d_{1}=1$,$d_{2}=0$(舍去).所以$c=2d=2$.
(3)解方程$(x-2)(mx-n)=0(m\neq 0)$,得$x_{1}=2$,$x_{2}=\frac{n}{m}$.根据题意,得$\frac{n}{m}=4$或$\frac{n}{m}=1$,所以$n=4m$或$n=m$.易得原式$=(m-n)(4m-n)=0$.