《2025年小题狂做九年级数学上册苏科版巅峰版》

8. 已知$\odot O$的半径为1,若点P在$\odot O外且\odot O$上存在点A,B,使得$\angle APB= 60^{\circ}$,则称P是$\odot O$的“领域点”.
(1)对以下情况,用三角尺或量角

器

尝试画图,并判断P是否是$\odot O$的“领域点”(在横线上填“是”或“不是”).
|①当$OP= 1.2$时,P______$\odot O$的“领域点”|
|②当$OP= 2$时,P______$\odot O$的“领域点”|
|③当$OP= 3$时,P______$\odot O$的“领域点”|

(2)若P是$\odot O$的“领域点”,则OP长的取值范围是______.
(3)如图,以圆心O为坐标原点建立平面直角坐标系$xOy$,设直线$y= -x+b(b＞0)$与x轴、y轴分别相交于点M,N.
①若线段MN上有且只有一个点是$\odot O$的“领域点”,求b的值；
②若线段MN上存在$\odot O$的“领域点”,求b的取值范围.

(1)是 是 不是
(2)1＜OP≤2
(3)①2√2
②1＜b≤2√2

答案：
(1)是 是 不是
(2)1＜OP≤2 提示:根据题意可知,若P刚好是⊙O的“领域点”,则点P到⊙O的两条切线PA,PB之间的夹角为60°.因为PA,PB分别与⊙O切于点A,B,所以∠OAP=∠OBP=90°,∠APO=∠BPO=$\frac{1}{2}$∠APB=30°,所以OP=2OA=2,则P是⊙O的“领域点”时,1＜OP≤2.
(3)①如图,当点O到直线y = - x + b(b＞0)的距离为OP=2时,线段MN上有且只有一个点是⊙O的“领域点”.因为点M(b,0),N(0,b),所以OM=ON.因为OP⊥MN,所以PM=PN,所以OP=PM=PN=2,所以OM=ON=2$\sqrt{2}$,所以b=2$\sqrt{2}$,所以当线段MN上有且只有一个点是⊙O的“领域点”时,b=2$\sqrt{2}$.②根据上述证明及
(2)可知,当线段MN上存在⊙O的“领域点”时,b的取值范围为1＜b≤2$\sqrt{2}$.