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11. (1) 有一组数据:$a,b,c,d,e(a＜b＜c＜d＜e)$.将这组数据改变为$a-2,b,c,d,e+2$.设这组数据改变前后的方差分别是$s^{2}_{1},s^{2}_{2}$,试比较$s^{2}_{1}与s^{2}_{2}$的大小关系.
(2) 给出一组数据:-1,0,3,5,x,若这一组数据的方差为$\frac {34}{5}$,试求x的值.
(2) 给出一组数据:-1,0,3,5,x,若这一组数据的方差为$\frac {34}{5}$,试求x的值.
答案：
(1) 设数据a,b,c,d,e的平均数为$\overline {x}$,则数据$a-2,b,c,d,e+2$的平均数也为$\overline {x}$.因为$s^{2}_{1}=\frac {1}{5}[(a-\overline {x})^{2}+(b-\overline {x})^{2}+\cdots +(e-\overline {x})^{2}],s^{2}_{2}=\frac {1}{5}[(a-2-\overline {x})^{2}+(b-\overline {x})^{2}+\cdots +(e+2-\overline {x})^{2}]=\frac {1}{5}[(a-\overline {x})^{2}+(b-\overline {x})^{2}+\cdots +(e-\overline {x})^{2}-4(a-\overline {x})+4+4(e-\overline {x})+4]=\frac {1}{5}[(a-\overline {x})^{2}+(b-\overline {x})^{2}+\cdots +(e-\overline {x})^{2}+4(e-a)+8]$,所以$s^{2}_{2}=s^{2}_{1}+\frac {1}{5}[4(e-a)+8]$.因为$a＜e$,所以$s^{2}_{1}＜s^{2}_{2}.$
(2) 设这组数据的平均数为m,则$m=\frac {1}{5}×(-1+0+3+5+x)=\frac {1}{5}(7+x)$①.因为$s^{2}=\frac {1}{5}[(-1-m)^{2}+(0-m)^{2}+(3-m)^{2}+(5-m)^{2}+(x-m)^{2}]=\frac {34}{5}$,整理,得$5m^{2}-14m-2mx+1+x^{2}=0$②,把①代入②,得$5[\frac {1}{5}(7+x)]^{2}-14×\frac {1}{5}(7+x)-2×\frac {1}{5}(7+x)\cdot x+1+x^{2}=0$,化简,得$2x^{2}-7x-22=0$,解得$x=-2$或$x=5.5.$
(1) 设数据a,b,c,d,e的平均数为$\overline {x}$,则数据$a-2,b,c,d,e+2$的平均数也为$\overline {x}$.因为$s^{2}_{1}=\frac {1}{5}[(a-\overline {x})^{2}+(b-\overline {x})^{2}+\cdots +(e-\overline {x})^{2}],s^{2}_{2}=\frac {1}{5}[(a-2-\overline {x})^{2}+(b-\overline {x})^{2}+\cdots +(e+2-\overline {x})^{2}]=\frac {1}{5}[(a-\overline {x})^{2}+(b-\overline {x})^{2}+\cdots +(e-\overline {x})^{2}-4(a-\overline {x})+4+4(e-\overline {x})+4]=\frac {1}{5}[(a-\overline {x})^{2}+(b-\overline {x})^{2}+\cdots +(e-\overline {x})^{2}+4(e-a)+8]$,所以$s^{2}_{2}=s^{2}_{1}+\frac {1}{5}[4(e-a)+8]$.因为$a＜e$,所以$s^{2}_{1}＜s^{2}_{2}.$
(2) 设这组数据的平均数为m,则$m=\frac {1}{5}×(-1+0+3+5+x)=\frac {1}{5}(7+x)$①.因为$s^{2}=\frac {1}{5}[(-1-m)^{2}+(0-m)^{2}+(3-m)^{2}+(5-m)^{2}+(x-m)^{2}]=\frac {34}{5}$,整理,得$5m^{2}-14m-2mx+1+x^{2}=0$②,把①代入②,得$5[\frac {1}{5}(7+x)]^{2}-14×\frac {1}{5}(7+x)-2×\frac {1}{5}(7+x)\cdot x+1+x^{2}=0$,化简,得$2x^{2}-7x-22=0$,解得$x=-2$或$x=5.5.$
12. 五个互不相等的正偶数$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}$的平均数和中位数都是A,且六个数$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},m$的众数是6,平均数还是A,则这五个互不相等的正偶数$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}$的方差为______
8
.
答案：
8 提示:因为$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}$的平均数是A,所以$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=5A$.因为$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}$,m的平均数还是A,所以$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+m=6A$,所以$m=A$.因为$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}$是五个互不相等的正偶数,且$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}$,m的众数是6,所以$m=A=6$,所以$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}$对应的五个互不相等的正偶数分别是2,4,6,8,10,所以$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}$的方差为$\frac {1}{5}[(2-6)^{2}+(4-6)^{2}+(6-6)^{2}+(8-6)^{2}+(10-6)^{2}]=8.$
13. 在一次数学模拟测试中,满分为100分,算出了李丽所在小组所有成绩的方差是4分$^2.$若将该小组所有成绩按满分150分进行换算,
则
换算后该小组所有成绩的方差是9
分$^2.$
答案：
9 提示:设换算前成绩(单位:分)分别为$x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}$,所以平均数$\overline {x}_{1}=\frac {1}{n}(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})$(分),方差$s^{2}_{1}=\frac {1}{n}[(x_{1}-\overline {x}_{1})^{2}+(x_{2}-\overline {x}_{1})^{2}+\cdots +(x_{n}-\overline {x}_{1})^{2}]=4$(分²),换算后成绩(单位:分)分别为$1.5x_{1},1.5x_{2},\cdots ,1.5x_{n}$,所以平均数$\overline {x}_{2}=\frac {1}{n}(1.5x_{1}+1.5x_{2}+\cdots +1.5x_{n})=1.5×\frac {1}{n}(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})=1.5\overline {x}_{1}$(分),方差$s^{2}_{2}=\frac {1}{n}[(1.5x_{1}-1.5\overline {x}_{1})^{2}+(1.5x_{2}-1.5\overline {x}_{1})^{2}+\cdots +(1.5x_{n}-1.5\overline {x}_{1})^{2}]=1.5^{2}×\frac {1}{n}[(x_{1}-\overline {x}_{1})^{2}+(x_{2}-\overline {x}_{1})^{2}+\cdots +(x_{n}-\overline {x}_{1})^{2}]=2.25×4=9$(分²),所以换算后该小组所有成绩的方差是9分².
14. 若非负数a,b,c满足$a＞0,a+b+c= 6$,则数据a,b,c的方差的最大值是
8
.
答案：
8 提示:因为$a+b+c=6$,所以数据a,b,c的平均数为$\frac {a+b+c}{3}=2$.设数据a,b,c的方差为S,则$S=\frac {1}{3}[(a-2)^{2}+(b-2)^{2}+(c-2)^{2}]=\frac {1}{3}[a^{2}+b^{2}+c^{2}-4(a+b+c)+12]=\frac {1}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2}-12)$.因为非负数a,b,c满足$a＞0$,所以$(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ac)≥a^{2}+b^{2}+c^{2}$,当$b=c=0$时,取等号.所以$a^{2}+b^{2}+c^{2}≤36$,所以$S≤\frac {36-12}{3}=8$,即数据a,b,c方差的最大值是8.
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