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1. 若关于x的一元二次方程$(k-1)x^{2}-\sqrt {2+3k}x+1= 0$有两个不相等的实数根,则k的取值范围是(
A.$k＜6$
B.$k＜6且k≠1$
C.$-\frac {2}{3}≤k＜6$
D.$-\frac {2}{3}≤k＜6且k≠1$
D
)A.$k＜6$
B.$k＜6且k≠1$
C.$-\frac {2}{3}≤k＜6$
D.$-\frac {2}{3}≤k＜6且k≠1$
答案：
D
2. 已知关于x的一元二次方程$(a+1)x^{2}-ax+a^{2}-a-2= 0$的一个根与关于x的一元二次方程$(a+1)x^{2}+ax-a^{2}+a+2= 0$的一个根互为相反数,则方程$(a+1)x^{2}+ax-a^{2}+a+2= 0$的根是(
A.$x_{1}= 0,x_{2}= -\frac {2}{3}$
B.$x_{1}= 0,x_{2}= \frac {2}{3}$
C.$x_{1}= -1,x_{2}= 2$
D.$x_{1}= 1,x_{2}= -2$
A
)A.$x_{1}= 0,x_{2}= -\frac {2}{3}$
B.$x_{1}= 0,x_{2}= \frac {2}{3}$
C.$x_{1}= -1,x_{2}= 2$
D.$x_{1}= 1,x_{2}= -2$
答案：
A 提示:由题意,可设m,-m分别是前后两个方程的根,得{(a+1)m²-am+a²-a-2=0,(a+1)m²-am-a²+a+2=0.两式相减,得2a²-2a-4=0,所以a²-a-2=0.因式分解,得(a+1)(a-2)=0,解得a₁=-1,a₂=2.又因为题中两个方程都是一元二次方程,所以a+1≠0,所以a≠-1.所以a=2.将a=2代入(a+1)x²+ax-a²+a+2=0,得3x²+2x=0,解得x₁=0,x₂=-2/3.
3. 若实数x满足方程$(x^{2}+2x)(x^{2}+2x-2)-8= 0$,则$x^{2}+2x$的值为(
A.-2
B.4
C.-2或4
D.2或-4
B
)A.-2
B.4
C.-2或4
D.2或-4
答案：
B 提示:设x²+2x=y,则原方程可化为y(y-2)-8=0,即y²-2y=8,解得y₁=4,y₂=-2.当y=4时,x²+2x=4,此时方程有实数根;当y=-2时,x²+2x=-2,此时方程无实数根,舍去.所以x²+2x的值为4.
4. 关于x的一元二次方程$ax^{2}+2ax+b+1= 0(a\cdot b≠0)$有两个相等的实数根k.下列说法正确的是(
A.若$-1\lt a＜1$,则$\frac {k}{a}＞\frac {k}{b}$
B.若$\frac {k}{a}＞\frac {k}{b}$,则$0\lt a＜1$
C.若$-1\lt a＜1$,则$\frac {k}{a}＜\frac {k}{b}$
D.若$\frac {k}{a}＜\frac {k}{b}$,则$0\lt a＜1$
D
)A.若$-1\lt a＜1$,则$\frac {k}{a}＞\frac {k}{b}$
B.若$\frac {k}{a}＞\frac {k}{b}$,则$0\lt a＜1$
C.若$-1\lt a＜1$,则$\frac {k}{a}＜\frac {k}{b}$
D.若$\frac {k}{a}＜\frac {k}{b}$,则$0\lt a＜1$
答案：
D 提示:因为关于x的一元二次方程ax²+2ax+b+1=0(ab≠0)有两个相等的实数根k,所以(2a)²-4a(b+1)=0,即4a(a-b-1)=0,又因为ab≠0,所以a-b-1=0,即b=a-1,所以ax²+2ax+a=0,解得x₁=x₂=-1,所以k=-1.因为k/a - k/b=-1/a + 1/(a-1)=1/(a(a-1)),所以当-1＜a＜0时,a-1＜0,a(a-1)＞0,此时k/a - k/b＞0,即k/a＞k/b,当0＜a＜1时,a-1＜0,a(a-1)＜0,此时k/a - k/b＜0,即k/a＜k/b,故A,C错误;当k/a＞k/b时,即k/a - k/b＞0,1/(a(a-1))＞0,解得a＞1或a＜0,故B错误;当k/a＜k/b时,即k/a - k/b＜0,1/(a(a-1))＜0,解得0＜a＜1,故D正确.
5. 如图,根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛,那么物体经过x s离地面的高度(单位：m)为$10x-4.9x^{2}$,则该物体经过
2.0
s落回地面(结果精确到0.1).
答案：
2.0 提示:根据物体落回地面,可得10x-4.9x²=0,解得x₁=0(舍去),x₂=100/49≈2.0,所以物体经过2.0 s落回地面.
6. 已知p是一元二次方程$x^{2}-x+\frac {1}{4}m= 0$的一个实数根,若$y= 4p^{2}-4p-3m+3$,则y的取值范围是
y≥-1
.
答案：
y≥-1 提示:将关于x的方程x²-x$\frac{+1}{4}$m=0配方,得(x$\frac{-1}{2}$)²=$\frac{1}{4}$ - $\frac{1}{4}$m.因为p是该方程的一个实数根,所以$\frac{1}{4}$ - $\frac{1}{4}$m≥0,p²-p$\frac{+1}{4}$m=0,所以m≤1,4p²-4p+m=0.所以y=4p²-4p-3m+3=3-4m≥-1.
7. 若$x^{2}-4xy+4y^{2}+2x-4y-3= 0$,则$x-2y= $
-3或1
.
答案：
-3或1 提示:因为x²-4xy+4y²+2x-4y-3=0,所以(x-2y)²+2(x-2y)-3=0.所以(x-2y+3)(x-2y-1)=0.所以x-2y=-3或x-2y=1.
8. (2024 无锡市江阴市期中)现有三个代数式：$x^{2}+2x+2,y^{2}-y,\frac {1}{x-y}$.若它们的值互不相同,且分别与$-\frac {1}{2},0,-x$中的某一个值对应相等,则$x+y$的值为______
-2或0
.
答案：
-2或0 提示:由题意,得1/(x-y)≠0.若x²+2x+2=0,则根的判别式2²-4×2=-4＜0,方程无实数根,所以y²-y=0,解得y₁=0,y₂=1.若x²+2x+2=-1/2,整理,得x²+2x+5/2=0,则根的判别式2²-4×5/2=-6＜0,方程无实数根,所以x²+2x+2=-x,1/(x-y)=-1/2.当y=0时,1/x=-1/2,解得x=-2,此时x²+2x+2=-x成立,所以x+y=-2;当y=1时,1/(x-1)=-1/2,解得x=-1,此时x²+2x+2=-x成立,所以x+y=0.综上所述,x+y的值为-2或0.
9. (2024 镇江市句容市期中)若$x= m$时,代数式$ax^{2}+bx+c$的值也为m,则称m是这个代数式的“x优值”.例如,当$x= 0$时,代数式$x^{2}-x$的值为0；当$x= 2$时,代数式$x^{2}-x$的值为2,所以0和2都是$x^{2}-x$的“x优值”.
(1)代数式$x^{2}$的“x优值”是
(2)判断代数式$x^{2}-x+n^{2}+2$是否存在“x优值”,并说明理由.
(3)代数式$x^{2}-n^{2}+n$存在两个“x优值”且这两个“x优值”的差为5,求n的值.
(1)代数式$x^{2}$的“x优值”是
0和1
.(2)判断代数式$x^{2}-x+n^{2}+2$是否存在“x优值”,并说明理由.
不存在“x优值”.理由如下:假设存在“x优值”为x,则有x²-x+n²+2=x,整理,得x²-2x+n²+2=0,则根的判别式2²-4(n²+2)=-4n²-4,因为无论n取何值时,-4n²-4＜0,所以方程没有实数根,即代数式x²-x+n²+2不存在“x优值”.
(3)代数式$x^{2}-n^{2}+n$存在两个“x优值”且这两个“x优值”的差为5,求n的值.
设“x优值”为x,则有x²-n²+n=x,整理,得x²-x-n(n-1)=0,所以(x-n)(x+n-1)=0,所以x₁=n,x₂=1-n.因为这两个“x优值”差为5,所以n-(1-n)=5或(1-n)-n=5,所以n=3或n=-2.
答案：
(1)0和1
(2)不存在“x优值”.理由如下:假设存在“x优值”为x,则有x²-x+n²+2=x,整理,得x²-2x+n²+2=0,则根的判别式2²-4(n²+2)=-4n²-4,因为无论n取何值时,-4n²-4＜0,所以方程没有实数根,即代数式x²-x+n²+2不存在“x优值”.
(3)设“x优值”为x,则有x²-n²+n=x,整理,得x²-x-n(n-1)=0,所以(x-n)(x+n-1)=0,所以x₁=n,x₂=1-n.因为这两个“x优值”差为5,所以n-(1-n)=5或(1-n)-n=5,所以n=3或n=-2.
(1)0和1
(2)不存在“x优值”.理由如下:假设存在“x优值”为x,则有x²-x+n²+2=x,整理,得x²-2x+n²+2=0,则根的判别式2²-4(n²+2)=-4n²-4,因为无论n取何值时,-4n²-4＜0,所以方程没有实数根,即代数式x²-x+n²+2不存在“x优值”.
(3)设“x优值”为x,则有x²-n²+n=x,整理,得x²-x-n(n-1)=0,所以(x-n)(x+n-1)=0,所以x₁=n,x₂=1-n.因为这两个“x优值”差为5,所以n-(1-n)=5或(1-n)-n=5,所以n=3或n=-2.
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