《2025年小题狂做九年级数学上册苏科版巅峰版》

1. 下列说法正确的是 (C)
A.若一个游戏中奖的概率是$\frac{1}{100}$,则做100次这样的游戏一定会中奖
B.为了了解全国中学生的心理健康状况,应采用普查的方式
C.一组数据0,1,2,1,1的众数和中位数都是1
D.若甲组数据的方差$s^{2}_{甲}= 0.2$,乙组数据的方差$s^{2}_{乙}= 0.5$,则乙组数据比甲组数据更稳定

答案： C

2. 若一组数据5,2,x,6,4的平均数是4,则这组数据的方差是 (A)
A.2
B.$\sqrt{2}$
C.10
D.$\sqrt{10}$

答案： A

3. 如图,菱形ABCD的边长为2,$\angle A= 60^\circ$,以点B为圆心的圆与AD,DC相切,与AB,CB的延长线分别相交于点E,F,则图中阴影部分的面积为 (A)
A.$\sqrt{3}+\frac{\pi}{2}$
B.$\sqrt{3}+\pi$
C.$\sqrt{3}-\frac{\pi}{2}$
D.$2\sqrt{3}+\frac{\pi}{2}$
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答案： A 提示:设AD切⊙B于点G,DC切⊙B于点H，连接BG，BH.由圆的对称性可知，扇形BEF的面积等于与它相对称的扇形面积，从而题图中阴影部分的面积等于△ABG，△BCH与扇形BGH的面积之和.因为在Rt△ABG中，易得∠ABG = 30°，所以AG = $\frac{1}{2}$AB = 1，所以BG = $\sqrt{AB² - AG²}$ = $\sqrt{3}$，所以S$_{\triangle ABG}$ = $\frac{1}{2}$AG·BG = $\frac{\sqrt{3}}{2}$.同理，可得S$_{\triangle BCH}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$.又易得∠GBH = 60°，所以扇形BGH的面积为$\frac{60π×(\sqrt{3})²}{360}$ = $\frac{π}{2}$.所以阴影部分的面积为$\sqrt{3}$ + $\frac{π}{2}$.

4. 设a,b是方程$x^{2}+20x+1= 0$的两个根,c,d是方程$x^{2}-19x+1= 0$的两个根,则代数式$(a+c)(b+c)(a-d)(b-d)$的值为 (C)
A.0
B.39
C.-39
D.1

答案： C 提示:由题意可得，a + b = -20，ab = 1，c + d = 19，cd = 1.所以(a + c)(b + c)(a - d)(b - d) = [ab + (a + b)c + c²][ab - (a + b)d + d²] = (1 - 20c + c²)(1 + 20d + d²) = (c² - 19c + 1 - c)(d² - 19d + 1 + 39d) = (0 - c)(0 + 39d) = -39cd = -39.

5. 如图,AB为半圆O的直径,C是$\widehat{AB}$的中点,D是$\widehat{BC}$的中点,在$\widehat{AC}$上取一点M,$\widehat{BC}$上取一点N,使得$\angle AMN= 110^\circ$,则下列说法正确的是 (D)

A.点N在$\widehat{CD}$上,且$NC＞ND$
B.点N在$\widehat{CD}$上,且$NC＜ND$
C.点N在$\widehat{BD}$上,且$ND＞NB$
D.点N在$\widehat{BD}$上,且$ND＜NB$

答案： D 提示:连接MD，OD，ON，BD.因为C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，D是$\overset{\frown}{BC}$的中点，所以∠BOD = $\frac{1}{2}$×90° = 45°.又因为OB = OD，所以∠OBD = ∠ODB = $\frac{1}{2}$×(180° - 45°) = 67.5°.因为四边形ABDM是半圆O的内接四边形，所以∠AMD = 180° - ∠ABD = 112.5°.因为∠AMN = 110°＜∠AMD，所以点N在$\overset{\frown}{BD}$上.因为∠DMN = ∠AMD - ∠AMN = 2.5°，所以∠DON = 2∠DMN = 5°.所以∠BON = 40°.所以$\overset{\frown}{NB}$＞$\overset{\frown}{ND}$，所以NB＞ND.

6. 已知关于x的方程$x^{2}-(a^{2}-2a-15)x+a-1= 0$两个根互为相反数,则a的值为-3.

答案： -3

7. 已知一元硬币的直径约为24mm,则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过12mm.

答案： 12

8. 已知圆锥的底面半径为3,侧面积为15π,则这个圆锥的高为 ______4.

答案： 4

9. 设a,b是方程$x^{2}+x-2025= 0$的两个实数根,则$(a+1)^{2}+b$的值为2025.

答案： 2025 提示:由题意可知，a + b = -1，a² + a - 2025 = 0，即a² + a = 2025.所以(a + 1)² + b = a² + 2a + 1 + b = a² + a + a + b + 1 = 2025 - 1 + 1 = 2025.

10. 如图,$\odot O的半径为2\sqrt{3}$,OA,OB是$\odot O$的半径,P是$\widehat{AB}$上任意一点,$PE\perp OA$于点E,$PF\perp OB$于点F,则EF长的最大值为 ______2$\sqrt{3}$.

答案： 2$\sqrt{3}$ 提示:延长PE，PF，分别交⊙O于点G，H，连接GH.因为PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，OA，OB为半径，所以PE = EG，PF = FH，所以EF是△PGH的中位线，所以EF = $\frac{1}{2}$GH.因为GH是⊙O的弦，所以GH长的最大值为2OA = 4$\sqrt{3}$.所以EF长的最大值为$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{3}$ = 2$\sqrt{3}$.

11. 在平面直角坐标系xOy中,点A(a,a),以点B(0,4)为圆心,半径为1的圆上有一点C. 若直线AC与$\odot B$相切,切点为C,则线段AC长的最小值为 ______$\sqrt{7}$.

答案： $\sqrt{7}$ 提示:因为点A的坐标为(a，a)，所以点A在直线y = x上.根据题意，得BC = 1.又因为AC = $\sqrt{AB² - BC²}$，点C在⊙B上，所以当AB垂直于直线y = x时，线段AC的长度最小.易知此时AB = 2$\sqrt{2}$.所以线段AC长的最小值为$\sqrt{(2\sqrt{2})² - 1²}$ = $\sqrt{7}$.

12. 如图,半圆的圆心O与坐标原点重合,半圆的半径为1,直线l的函数表达式为$y= x+t$. 若直线l与半圆O只有一个交点,则t的取值范围是 ______t = $\sqrt{2}$或 - 1≤t＜1.

答案： t = $\sqrt{2}$或 - 1≤t＜1 提示:若直线l与半圆只有一个交点，则有两种情况:直线l与半圆相切或直线l从过点A开始到过点B结束(不包括直线过点A).易知直线l与x轴所形成的锐角是45°，所以当直线和半圆相切时，直线与x轴的交点为(-$\sqrt{2}$，0)，所以此时t = $\sqrt{2}$.当直线l过点A时，t = 1；当直线l过点B时，t = -1.所以当t = $\sqrt{2}$或 - 1≤t＜1时，直线l与半圆只有一个交点.