《2025年暑假总动员八年级数学沪科版合肥工业大学出版社》

13. 解下列方程:
(1)(无锡)$(x+1)^{2}-4= 0$;$ x_1 = 1 $，$ x_2 = -3 $
(2)(徐州)$x^{2}-4x-5= 0$.$ x_1 = 5 $，$ x_2 = -1 $

答案：
(1) $ x_1 = 1 $，$ x_2 = -3 $
(2) $ x_1 = 5 $，$ x_2 = -1 $

14. (南充)已知关于x的一元二次方程$x^{2}-(2k+1)x+k^{2}+k= 0.$
(1)求证:无论k取何值,方程都有两个不相等的实数根;
(2)若方程的两个实数根为$x_{1},x_{2}$,且k与$\frac {x_{1}}{x_{2}}$都为整数,求k所有可能的值.

答案：
(1) 证明：$ \because \Delta = [-(2k + 1)]^2 - 4 \times 1 \times (k^2 + k) = 1 ＞ 0 $，$ \therefore $ 无论 $ k $ 取何值，方程都有两个不相等的实数根。
(2) 解：方程 $ x^2 - (2k + 1)x + k^2 + k = 0 $ 可化为 $ (x - k)[x - (k + 1)] = 0 $，解得 $ x = k $ 或 $ x = k + 1 $，$ \therefore $ 方程 $ x^2 - (2k + 1)x + k^2 + k = 0 $ 的两根为 $ k $，$ k + 1 $。① 当 $ \frac{x_1}{x_2} = \frac{k}{k + 1} $ 时，$ \frac{x_1}{x_2} = \frac{k + 1 - 1}{k + 1} = 1 - \frac{1}{k + 1} $。$ \because k $ 与 $ \frac{x_1}{x_2} $ 都为整数，$ \therefore k + 1 = \pm 1 $，解得 $ k = 0 $ 或 $ -2 $。② 当 $ \frac{x_1}{x_2} = \frac{k + 1}{k} $ 时，$ \frac{x_1}{x_2} = 1 + \frac{1}{k} $。$ \because k $ 与 $ \frac{x_1}{x_2} $ 都为整数，$ \therefore k = \pm 1 $。综上所述，$ k $ 所有可能的值为 $ \pm 1 $ 或 $ 0 $ 或 $ -2 $。

15. (荆州)已知a是不等式$5(a-2)+8＜6(a-1)+7$的最小整数解,请用配方法解关于x的方程$x^{2}+2ax+a+1= 0.$

答案： 解：解不等式 $ 5(a - 2) + 8 ＜ 6(a - 1) + 7 $，得 $ a ＞ -3 $，$ \therefore $ 最小整数解为 $ -2 $。将 $ a = -2 $ 代入方程 $ x^2 + 2ax + a + 1 = 0 $，得 $ x^2 - 4x - 1 = 0 $，配方，得 $ (x - 2)^2 = 5 $。直接开平方，得 $ x - 2 = \pm \sqrt{5} $，$ \therefore x_1 = 2 + \sqrt{5} $，$ x_2 = 2 - \sqrt{5} $。

16. (菏泽)列方程(组)解应用题.
端午节期间,某水果超市调查某种水果的销售情况,下面是调查员的对话:
小王:该水果的进价是每千克22元;
小李:当销售价为每千克38元时,每天可售出160千克;若每千克降低3元,每天的销售量将增加120千克.
根据他们的对话,解决下面所给问题:超市每天要获得销售利润3640元,又要尽可能让顾客得到实惠,求这种水果的销售价为每千克多少元.

答案： 解：设每千克降低 $ x $ 元时，超市每天可获得销售利润 3640 元，由题意得 $ (38 - x - 22)(160 + \frac{x}{3} \times 120) = 3640 $，整理得 $ x^2 - 12x + 27 = 0 $，$ \therefore x = 3 $ 或 $ x = 9 $。$ \because $ 要尽可能让顾客得到实惠，$ \therefore x = 9 $，$ \therefore $ 售价为 $ 38 - 9 = 29 $（元/千克）。所以水果的销售价为每千克 29 元时，超市每天可获得销售利润 3640 元。

17. (宜昌)随着农业技术的现代化,节水型灌溉得到逐步推广.喷灌和滴灌是比漫灌更节水的灌溉方式,喷灌和滴灌时每亩用水量分别是漫灌时的30%和20%.去年,某公司用各100亩的三块试验田分别采用喷灌、滴灌和漫灌的灌溉方式,共用水15000吨.
(1)请问用漫灌方式每亩用水多少吨?去年每块试验田各用水多少吨?
(2)今年该公司加大对农业灌溉的投入,喷灌和滴灌试验田的面积都增加了m%,漫灌试验田的面积减少了2m%.同时,该公司通过维修灌溉输水管道,使得三种灌溉方式下的每亩用水量都进一步减少了m%.经测算,今年的灌溉用水量比去年减少$\frac {9}{5}m\% $,求m的值.

答案： 解：
(1) 设漫灌方式每亩用水 $ x $ 吨。根据题意，得 $ 100x + 100 \times 30\%x + 100 \times 20\%x = 15000 $，解得 $ x = 100 $。此时漫灌用水的吨数为 $ 100 \times 100 = 10000 $，喷灌用水的吨数为 $ 30\% \times 10000 = 3000 $，滴灌用水的吨数为 $ 20\% \times 10000 = 2000 $，$ \therefore $ 漫灌方式每亩用水 100 吨，去年每块试验田（漫灌、喷灌、滴灌）分别用水 10000 吨、3000 吨、2000 吨。
(2) 根据题意，得 $ 100 \times (1 - 2m\%) \times 100 \times (1 - m\%) + 100 \times (1 + m\%) \times 30 \times (1 - m\%) + 100 \times (1 + m\%) \times 20 \times (1 - m\%) = 15000 \times (1 - \frac{9}{5}m\%) $。不妨记 $ m\% = t $，则上述方程可化为 $ 5t^2 - t = 0 $，解得 $ t_1 = 0 $（不合题意，舍去），$ t_2 = \frac{1}{5} $。由 $ m\% = \frac{1}{5} $，得 $ m = 20 $。