《2025年暑假总动员八年级数学沪科版合肥工业大学出版社》

15. (8分)化简：
(1)$\sqrt {(3-π)^{2}}$；
(2)$(\sqrt {x-2})^{2}+\sqrt {(x-1)^{2}}$。

答案： 解：
(1) $ \sqrt { ( 3 - \pi ) ^ { 2 } } = | 3 - \pi | = \pi - 3 $
(2) $ ( \sqrt { x - 2 } ) ^ { 2 } + \sqrt { ( x - 1 ) ^ { 2 } } = x - 2 + | x - 1 | = x - 2 + x - 1 = 2 x - 3 $

16. (8分)计算：
(1)$\frac {3}{2}\sqrt {20}\cdot (-\sqrt {15})-3\sqrt {48}$；
(2)$\sqrt {12}-\sqrt {18}-\sqrt {0.5}+\sqrt {\frac {1}{3}}$；
(3)$\sqrt {45}-\sqrt {20}+5\sqrt {\frac {1}{5}}-\frac {5}{3}\sqrt {1\frac {4}{5}}$；
(4)$(\sqrt {3}-1)^{2}+(2-\sqrt {3})(1+\sqrt {3})$。

答案：
(1) $ - 27 \sqrt { 3 } $
(2) $ \frac { 7 } { 3 } \sqrt { 3 } - \frac { 7 } { 2 } \sqrt { 2 } $
(3) $ \sqrt { 5 } $
(4) $ 3 - \sqrt { 3 } $

17. (8分)已知$\sqrt {\frac {8}{x-2}}$为二次根式,求$x$的取值范围。

答案： 解：由 $ \left\{ \begin{array} { l } { \frac { 8 } { x - 2 } \geq 0, } \\ { x - 2 \neq 0, } \end{array} \right. $ 可得 $ x - 2 ＞ 0 $，解得 $ x ＞ 2 $，$ \therefore x $ 的取值范围是 $ x ＞ 2 $

18. (8分)若$x$,$y$为实数,且$y＜\sqrt {2x-1}+\sqrt {1-2x}+2$,化简$\frac {\sqrt {y^{2}-4y+4}}{2-y}$。

答案： 解：$ \because x $，$ y $ 为实数，$ y ＜ \sqrt { 2 x - 1 } + \sqrt { 1 - 2 x } + 2 $，$ \therefore \left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 1 \geq 0, } \\ { 1 - 2 x \geq 0, } \end{array} \right. $ $ \therefore 2 x - 1 = 0 $，$ \therefore x = \frac { 1 } { 2 } $。当 $ x = \frac { 1 } { 2 } $ 时，$ y ＜ 2 $，$ \therefore y - 2 ＜ 0 $，$ \therefore \frac { \sqrt { y ^ { 2 } - 4 y + 4 } } { 2 - y } = \frac { | y - 2 | } { 2 - y } = \frac { 2 - y } { 2 - y } = 1 $

19. (10分)已知$a= \frac {\sqrt {3}+\sqrt {2}}{\sqrt {3}-\sqrt {2}}$,$b= \frac {\sqrt {3}-\sqrt {2}}{\sqrt {3}+\sqrt {2}}$,求代数式$\frac {\sqrt {ab}+(a+b)^{2}}{\sqrt {ab}-(a+b)^{2}}$的值。
解：$ \because a = \frac { \sqrt { 3 } + \sqrt { 2 } } { \sqrt { 3 } - \sqrt { 2 } } $，$ b = \frac { \sqrt { 3 } - \sqrt { 2 } } { \sqrt { 3 } + \sqrt { 2 } } $，$ \therefore a b = $1，$ a + b = \frac { \sqrt { 3 } + \sqrt { 2 } } { \sqrt { 3 } - \sqrt { 2 } } + \frac { \sqrt { 3 } - \sqrt { 2 } } { \sqrt { 3 } + \sqrt { 2 } } = ( \sqrt { 3 } + \sqrt { 2 } ) ^ { 2 } + ( \sqrt { 3 } - \sqrt { 2 } ) ^ { 2 } = 3 + 2 \sqrt { 6 } + 2 + 3 - 2 \sqrt { 6 } + 2 = $10，$ \therefore \frac { \sqrt { a b } + ( a + b ) ^ { 2 } } { \sqrt { a b } - ( a + b ) ^ { 2 } } = \frac { 1 + 100 } { 1 - 100 } = $$-\frac{101}{99}$

答案： 解：$ \because a = \frac { \sqrt { 3 } + \sqrt { 2 } } { \sqrt { 3 } - \sqrt { 2 } } $，$ b = \frac { \sqrt { 3 } - \sqrt { 2 } } { \sqrt { 3 } + \sqrt { 2 } } $，$ \therefore a b = 1 $，$ a + b = \frac { \sqrt { 3 } + \sqrt { 2 } } { \sqrt { 3 } - \sqrt { 2 } } + \frac { \sqrt { 3 } - \sqrt { 2 } } { \sqrt { 3 } + \sqrt { 2 } } = ( \sqrt { 3 } + \sqrt { 2 } ) ^ { 2 } + ( \sqrt { 3 } - \sqrt { 2 } ) ^ { 2 } = 3 + 2 \sqrt { 6 } + 2 + 3 - 2 \sqrt { 6 } + 2 = 10 $，$ \therefore \frac { \sqrt { a b } + ( a + b ) ^ { 2 } } { \sqrt { a b } - ( a + b ) ^ { 2 } } = \frac { 1 + 100 } { 1 - 100 } = - \frac { 101 } { 99 } $

20. (10分)观察下列各式,并回答下面的问题：
第一个：$\sqrt {1^{2}-1}$；第二个：$\sqrt {2^{2}-2}$；
第三个：$\sqrt {3^{2}-3}$；第四个：$\sqrt {4^{2}-4}$；…
(1)试写出第$n$个式子(用含$n$的式子表示),这个式子一定是二次根式吗？为什么？
(2)估计第16个式子的值应在哪两个连续整数之间,并说明理由。

答案： 解：
(1) 观察题中各式，发现规律，第 $ n $ 个式子为 $ \sqrt { n ^ { 2 } - n } $。$ \because n \geq 1 $，$ \therefore n ^ { 2 } - n = n ( n - 1 ) \geq 0 $，$ \therefore \sqrt { n ^ { 2 } - n } $ 一定是二次根式。
(2) 第 16 个式子的值为 $ \sqrt { 16 ^ { 2 } - 16 } = \sqrt { 16 \times ( 16 - 1 ) } = \sqrt { 16 \times 15 } = \sqrt { 240 } $。$ \because \sqrt { 225 } ＜ \sqrt { 240 } ＜ \sqrt { 256 } $，$ \therefore 15 ＜ \sqrt { 240 } ＜ 16 $，$ \therefore $ 第 16 个式子的值应在 15 和 16 之间。