《2025年暑假总动员八年级数学沪科版合肥工业大学出版社》

30.如图,在$\triangle ABC$中,$∠A= 90^{\circ }$,D是AB的中点,过点D作BC的平行线交AC于点E,作BC的垂线交BC于点F,若$AB= CE$,且$\triangle DFE$的面积为1,则BC的长为 (A)

A.$2\sqrt {5}$
B.5
C.$4\sqrt {5}$
D.10

答案： A

31.如图,边长为6的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积分别为$S_{1},S_{2}$,则$S_{1}+S_{2}$的值为 (B)

A.16
B.17
C.18
D.19

答案： B

32.如图,已知$∠AOB= 60^{\circ }$,点P在边OA上,$OP= 12$,点M,N在边OB上,$PM= PN$,若$MN= 2$,则$OM= $ (C)

A.3
B.4
C.5
D.6

答案： C

33.如图,在$Rt\triangle ABC$中,$∠B= 90^{\circ },AB= 3,BC= 4$,将$\triangle ABC$折叠,使点B恰好落在斜边AC上,与点$B'$重合,AE为折痕,则$EB'= $1.5.

答案： 1.5

34.如图,$\triangle ABC$中,$∠A= 30^{\circ },∠B= 62^{\circ }$,CE平分$∠ACB$.
(1)求$∠ACE$的度数;44°
(2)若$CD⊥AB$于点D,$∠CDF= 74^{\circ }$,求证:$\triangle CFD$是直角三角形.
证明: $ \because CD \perp AB $, $ \therefore \angle CDB = 90^{\circ} $, $ \therefore \angle BCD = 90^{\circ} - \angle B = 28^{\circ} $, $ \therefore \angle FCD = \angle ECB - \angle BCD = 16^{\circ} $. $ \because \angle CDF = 74^{\circ} $, $ \therefore \angle CFD = 180^{\circ} - \angle FCD - \angle CDF = 90^{\circ} $, $ \therefore \triangle CFD $ 是直角三角形.

答案：
(1)解: $ \because \angle A = 30^{\circ} $, $ \angle B = 62^{\circ} $, $ \therefore \angle ACB = 180^{\circ} - \angle A - \angle B = 88^{\circ} $. $ \because CE $ 平分 $ \angle ACB $, $ \therefore \angle ACE = \angle BCE = \frac { 1 } { 2 } \angle ACB = 44^{\circ} $.
(2)证明: $ \because CD \perp AB $, $ \therefore \angle CDB = 90^{\circ} $, $ \therefore \angle BCD = 90^{\circ} - \angle B = 28^{\circ} $, $ \therefore \angle FCD = \angle ECB - \angle BCD = 16^{\circ} $. $ \because \angle CDF = 74^{\circ} $, $ \therefore \angle CFD = 180^{\circ} - \angle FCD - \angle CDF = 90^{\circ} $, $ \therefore \triangle CFD $ 是直角三角形.

35.如图,在$Rt\triangle ABC$中,$∠C= 90^{\circ }$,AM是中线,$MN⊥AB$,垂足为N,求证:$AN^{2}-BN^{2}= AC^{2}$.
证明: $\because MN \perp AB $, $\therefore AN ^ { 2 } + MN ^ { 2 } = AM ^ { 2 } $, $ BN ^ { 2 } + MN ^ { 2 } = MB ^ { 2 } $, $\therefore AN ^ { 2 } - BN ^ { 2 } = AM ^ { 2 } - MB ^ { 2 } $. $\because AM $ 是中线, $\therefore MC = MB $, $\therefore AN ^ { 2 } - BN ^ { 2 } = AM ^ { 2 } - MC ^ { 2 } $. 又 $\because \angle C = 90^{\circ} $, $\therefore $ 在 $ Rt \triangle AMC $ 中, $ AM ^ { 2 } - MC ^ { 2 } = AC ^ { 2 } $, $\therefore AN ^ { 2 } - BN ^ { 2 } = AC ^ { 2 } $.

答案： 证明: $ \because MN \perp AB $, $ \therefore AN ^ { 2 } + MN ^ { 2 } = AM ^ { 2 } $, $ BN ^ { 2 } + MN ^ { 2 } = MB ^ { 2 } $, $ \therefore AN ^ { 2 } - BN ^ { 2 } = AM ^ { 2 } - MB ^ { 2 } $. $ \because AM $ 是中线, $ \therefore MC = MB $, $ \therefore AN ^ { 2 } - BN ^ { 2 } = AM ^ { 2 } - MC ^ { 2 } $. 又 $ \because \angle C = 90^{\circ} $, $ \therefore $ 在 $ Rt \triangle AMC $ 中, $ AM ^ { 2 } - MC ^ { 2 } = AC ^ { 2 } $, $ \therefore AN ^ { 2 } - BN ^ { 2 } = AC ^ { 2 } $.

36.如图所示,公路EF和公路MN在点E处交汇,且$∠NEF= 30^{\circ }$,点A处有一所学校,$EA= 160m$,汽车在公路上行驶时,周围100m以内会受到噪声的影响.若汽车在公路MN上沿EN方向行驶.
(1)学校是否会受到噪声的影响?
(2)如果受影响,已知汽车的速度为36km/h,那么学校受影响的时间为多少秒?

答案：
解:
(1)如图所示,过点 $ A $ 作 $ AB \perp MN $ 于点 $ B $. 在 $ Rt \triangle ABE $ 中, $ \because \angle AEB = 30^{\circ} $, $ AE = 160 m $, $ \therefore AB = \frac { 1 } { 2 } AE = 80 m $. 可知 $ AB ＜ 100 m $, 即学校到公路 $ MN $ 的距离小于 $ 100 m $. 因此学校会受到噪声的影响.
(2)如图所示,假设汽车在公路 $ MN $ 上沿 $ EN $ 方向行驶到点 $ C $ 处,学校开始受到噪声影响,行驶到点 $ D $ 处学校开始脱离噪声影响,则 $ BC = BD $, $ AC = AD = 100 m $. 在 $ Rt \triangle ABC $ 中,由勾股定理得 $ BC = \sqrt { A C ^ { 2 } - A B ^ { 2 } } = \sqrt { 100 ^ { 2 } - 80 ^ { 2 } } = 60 ( m ) $, $ \therefore CD = 120 m $. 学校受噪声影响的时间为 $ \frac { 120 m } { 36 km / h } = \frac { 120 m } { 10 m / s } = 12 s $.