《2025年暑假总动员八年级数学沪科版合肥工业大学出版社》

14. 如图,四边形ABCD的对角线交于点O,下列条件:①$AD// BC$;②$AB= CD$;③$AO= CO$;④$∠ABC= ∠ADC$.从中选出两个可使四边形ABCD是平行四边形,则你选的两个条件是①③.(填写一组序号即可)

答案： ①③(答案不唯一)

15. (岳阳)如图,在四边形ABCD中,$AE⊥BD,CF⊥BD$,垂足分别为点E,F.
(1)请你只添加一个条件(不另加辅助线),使得四边形AECF为平行四边形,你添加的条件是____AF//CE____(答案不唯一，符合题意即可);
(2)添加了条件后,证明四边形AECF为平行四边形.

答案：
(1)AF//CE(答案不唯一，符合题意即可)
(2)证明:
∵AE⊥BD,CF⊥BD,
∴AE//CF.
∵AF//CE,
∴四边形AECF为平行四边形.

16. 已知:如图,在$△ABC$中,E,F分别是AB,CB的中点,G,H为AC上两点,且$AG= GH= HC$,延长EG,FH交于点D.求证:四边形ABCD是平行四边形.

答案：
证明:如图，分别连接BG,BH,BD交AC于点O.
∵E是AB中点,AG=GH,
∴EG是△ABH的一条中位线,
∴EG//BH,即GD//BH.同理可证BG//DH,
∴四边形BHDG是平行四边形,
∴BO=OD,GO=OH.又
∵AG=HC,
∴AG+GO=HC+OH,即AO=OC.又
∵BO=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
　　　　　　　　　　

17. (聊城)如图,在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,且$AO= CO$,点E在BD上,满足$∠EAO= ∠DCO$.
(1)求证:四边形AECD是平行四边形;
(2)若$AB= BC,CD= 5,AC= 8$,求四边形AECD的面积.

(1)证明:在△AOE和△COD中,
$\left\{\begin{array}{l} ∠EAO=∠DCO,\\ AO=CO,\\ ∠AOE=∠COD,\end{array}\right. $
$\therefore \triangle AOE\cong \triangle COD$(ASA),
$\therefore OE=OD$.又∵AO=CO,∴四边形AECD是平行四边形.
(2)解:∵AB=BC,AO=CO,∴BO⊥AC,∴平行四边形AECD是菱形.∵AC=8,∴CO=$\frac{1}{2}$AC=4.在Rt△COD中,CD=5,∴OD=$\sqrt{CD^{2}-CO^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=$3,∴DE=2OD=6,
$\therefore S_{四边形AECD}=S_{\triangle CDE}+S_{\triangle ADE}=\frac{1}{2}DE\cdot CO+\frac{1}{2}DE\cdot AO=\frac{1}{2}DE\cdot AC=\frac{1}{2}×6×8=$24,∴四边形AECD的面积为24.

答案：
(1)证明:在△AOE和△COD中,
$\left\{\begin{array}{l} ∠EAO=∠DCO,\\ AO=CO,\\ ∠AOE=∠COD,\end{array}\right. $
$\therefore \triangle AOE\cong \triangle COD(ASA)$,
$\therefore OE=OD$.又
∵AO=CO,
∴四边形AECD是平行四边形.
(2)解:
∵AB=BC,AO=CO,
∴BO⊥AC,
∴平行四边形AECD是菱形.
∵AC=8,
∴CO=$\frac{1}{2}$AC=4.在Rt△COD中,CD=5,
∴OD=$\sqrt{CD^{2}-CO^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=3$,
∴DE=2OD=6,
$\therefore S_{四边形AECD}=S_{\triangle CDE}+S_{\triangle ADE}=\frac{1}{2}DE\cdot CO+\frac{1}{2}DE\cdot AO=\frac{1}{2}DE\cdot AC=\frac{1}{2}×6×8=24$,
∴四边形AECD的面积为24.

18. 如图,在平行四边形ABCD中,$AB= 3,AD= 2$,则$CD=$(A)

A. 3
B. 2
C. 1
D. 5

答案： A