《2025年暑假总动员八年级数学沪科版合肥工业大学出版社》

11. 如图,在$□ ABCD$中,E为BC的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F,连接BF,AC.若$AD= AF$,求证:四边形ABFC是矩形.
证明:∵四边形 $ABCD$ 是平行四边形, $ \therefore AB // DF $, $ \therefore \angle ABE = \angle FCE $. ∵ $E$ 为 $BC$ 的中点, $ \therefore BE = CE $. 又 $ \because \angle AEB = \angle FEC $, $ \therefore \triangle ABE \cong \triangle FCE $ASA, $ \therefore AE = FE $. 又 $ \because BE = CE $, $ \therefore $ 四边形 $ABFC$ 是平行四边形. 在 $ □ ABCD$ 中, $AD = BC$. 又 $ \because AD = AF $, $ \therefore BC = AF $, $ \therefore $ 平行四边形 $ABFC$ 是矩形对角线相等的平行四边形是矩形.

答案： 证明:
∵四边形 $ABCD$ 是平行四边形, $ \therefore AB // DF $, $ \therefore \angle ABE = \angle FCE $.
∵ $E$ 为 $BC$ 的中点, $ \therefore BE = CE $. 又 $ \because \angle AEB = \angle FEC $, $ \therefore \triangle ABE \cong \triangle FCE $, $ \therefore AE = FE $. 又 $ \because BE = CE $, $ \therefore $ 四边形 $ABFC$ 是平行四边形. 在 $ \square ABCD$ 中, $AD = BC$. 又 $ \because AD = AF $, $ \therefore BC = AF $, $ \therefore $ 平行四边形 $ABFC$ 是矩形.

12. (河南)关于菱形的性质,以下说法不正确的是 (B)
A. 四条边相等
B. 对角线相等
C. 对角线互相垂直
D. 是轴对称图形

答案： B

13. (烟台)如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点A,B,C在坐标轴上,若点B的坐标为$(-1,0),∠BCD= 120^{\circ}$,则点D的坐标为 (D)

A. $(2,2)$
B. $(\sqrt{3},2)$
C. $(3,\sqrt{3})$
D. $(2,\sqrt{3})$

答案： D

14. (绍兴)如图,菱形ABCD中,$∠B= 60^{\circ}$,点P从点B出发,沿折线$BC→CD$方向移动,移动到点D停止.在$\triangle ABP$形状的变化过程中,依次出现的特殊三角形是 (C)

A. 直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形
B. 直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形
C. 直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
D. 等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形

答案： C

15. 如图,在$□ ABCD$中,AC平分$∠DAB,AB= 7$,则$□ ABCD$的周长为______28.

答案： 28

16. (山西)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,$BD= 8,AC= 6,OE// AB$交BC于点E,则OE的长为$\frac{5}{2}$.

答案： $ \frac{5}{2} $

17. (盐城)如图,D,E,F分别是$\triangle ABC$各边的中点,连接DE,EF,AE.
(1)求证:四边形ADEF为平行四边形;
(2)加上条件______②后,能使得四边形ADEF为菱形.请从①$∠BAC= 90^{\circ}$;②AE平分$∠BAC$;③$AB= AC$这3个条件中选择1个条件填空(写序号),并加以证明.

答案：
(1) 证明:已知 $D$, $E$, $F$ 为 $AB$, $BC$, $AC$ 的中点, $ \therefore DE // AC$, 且 $DE = \frac{1}{2}AC = AF$, 即 $DE // AF$, $DE = AF$, $ \therefore $ 四边形 $ADEF$ 为平行四边形.
(2) 选 ② $AE$ 平分 $ \angle BAC$. 证明: $ \because AE$ 平分 $ \angle BAC$, $ \therefore \angle DAE = \angle FAE$. 又 $ \because $ 四边形 $ADEF$ 为平行四边形, $ \therefore EF // DA$, $ \therefore \angle DAF = \angle AEF$, $ \therefore \angle FAE = \angle AEF$, $ \therefore AF = EF$, $ \therefore $ 平行四边形 $ADEF$ 为菱形. (答案不唯一)

18. (云南)如图,四边形ABCD是矩形,E,F分别是线段AD,BC上的点,点O是EF与BD的交点,若将$\triangle BED$沿直线BD折叠,则点E与点F重合.
(1)求证:四边形BEDF是菱形;
(2)若$ED= 2AE,AB\cdot AD= 3\sqrt{3}$,求$EF\cdot BD$的值.

(1) 证明: $ \because \triangle BED$ 沿直线 $BD$ 折叠, 点 $E$ 与点 $F$ 重合, $ \therefore BE = BF$, $DE = DF$, $ \angle EDB = \angle FDB$. 又 $ \because $ 四边形 $ABCD$ 是矩形, 且 $E$, $F$ 分别是线段 $AD$, $BC$ 上的点, $ \therefore DE // BF$, $ \therefore \angle EDB = \angle FBD$, $ \therefore \angle FDB = \angle FBD$, $ \therefore BF = DF$, $ \therefore BE = BF = DF = DE$, $ \therefore $ 四边形 $BEDF$ 是菱形.
(2) 解: $ \because ED = 2AE$, $E$ 是线段 $AD$ 上的点, $ \therefore ED = \frac{2}{3}AD$. $ \because $ 四边形 $BEDF$ 是菱形, 四边形 $ABCD$ 是矩形, $ \therefore S_{菱形BEDF} = \frac{1}{2}EF \cdot BD = ED \cdot AB = \frac{2}{3}AD \cdot AB$. $ \because AB \cdot AD = 3\sqrt{3}$, $ \therefore \frac{1}{2}EF \cdot BD = \frac{2}{3} × 3\sqrt{3}$, $EF \cdot BD = $$4\sqrt{3}$.

答案：
(1) 证明: $ \because \triangle BED$ 沿直线 $BD$ 折叠, 点 $E$ 与点 $F$ 重合, $ \therefore BE = BF$, $DE = DF$, $ \angle EDB = \angle FDB$. 又 $ \because $ 四边形 $ABCD$ 是矩形, 且 $E$, $F$ 分别是线段 $AD$, $BC$ 上的点, $ \therefore DE // BF$, $ \therefore \angle EDB = \angle FBD$, $ \therefore \angle FDB = \angle FBD$, $ \therefore BF = DF$, $ \therefore BE = BF = DF = DE$, $ \therefore $ 四边形 $BEDF$ 是菱形.
(2) 解: $ \because ED = 2AE$, $E$ 是线段 $AD$ 上的点, $ \therefore ED = \frac{2}{3}AD$. $ \because $ 四边形 $BEDF$ 是菱形, 四边形 $ABCD$ 是矩形, $ \therefore S_{菱形BEDF} = \frac{1}{2}EF \cdot BD = ED \cdot AB = \frac{2}{3}AD \cdot AB$. $ \because AB \cdot AD = 3\sqrt{3}$, $ \therefore \frac{1}{2}EF \cdot BD = \frac{2}{3} \times 3\sqrt{3}$, $EF \cdot BD = 4\sqrt{3}$.