《2025年暑假总动员八年级数学沪科版合肥工业大学出版社》

14. 商场某种商品平均每天可销售30件,每件盈利50元．为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施．经调查发现,每件商品每降价1元,商场平均每天可多售出2件．据此规律计算：每件商品降价20元时,商场日盈利可达到2100元．

答案： 20

15. (8分)解下列方程：
(1)$3x^{2}-10x= 2$；$x_{1} = \frac{5 + \sqrt{31}}{3}, x_{2} = \frac{5 - \sqrt{31}}{3}$
(2)$(x+2)^{2}= 3(x+2)$；$x_{1} = -2, x_{2} = 1$
(3)$x^{2}-5x-7= 0$；$x_{1} = \frac{5 + \sqrt{53}}{2}, x_{2} = \frac{5 - \sqrt{53}}{2}$
(4)$4(x-2)^{2}-49= 0$．$x_{1} = -\frac{3}{2}, x_{2} = \frac{11}{2}$

答案：
(1) $x_{1} = \frac{5 + \sqrt{31}}{3}, x_{2} = \frac{5 - \sqrt{31}}{3}$
(2) $x_{1} = -2, x_{2} = 1$
(3) $x_{1} = \frac{5 + \sqrt{53}}{2}, x_{2} = \frac{5 - \sqrt{53}}{2}$
(4) $x_{1} = -\frac{3}{2}, x_{2} = \frac{11}{2}$

16. (8分)已知一元二次方程$(m-1)x^{2}+7mx+m^{2}+3m-4= 0$有一个根为零,求m的值．

答案： 解: $\because$ 方程有一根为 0, $\therefore (m - 1) \cdot 0^{2} + 7m \cdot 0 + m^{2} + 3m - 4 = 0$, $\therefore m^{2} + 3m - 4 = 0$, $(m + 4)(m - 1) = 0$, $m_{1} = -4, m_{2} = 1$. 又 $\because$ 原方程是一元二次方程, $\therefore m - 1 \neq 0$, 即 $m \neq 1$, $\therefore m = -4$.

17. (8分)设a,b,c是$\triangle ABC$的三条边,关于x的方程$x^{2}+2\sqrt {b}x+2c-a= 0$有两个相等的实数根,方程$3cx+2b= 2a的解为x= 0$．
(1)试说明$\triangle ABC$为等边三角形；
(2)若a,b为方程$x^{2}+mx-3m= 0$的两根,求m的值为-12．

答案： 解:
(1) $\because$ 关于 $x$ 的方程 $x^{2} + 2\sqrt{b}x + 2c - a = 0$ 有两个相等的实数根, $\therefore 4b - 8c + 4a = 0$, 即 $b - 2c + a = 0$ ①, 方程 $3cx + 2b = 2a$ 的一根为 0, $\therefore 2b = 2a$, 即 $b = a$ ②, 由 ① ② 得 $\begin{cases} a = b, \\ a + b = 2c, \end{cases}$ $\therefore a = b = c$, $\therefore \triangle ABC$ 为等边三角形.
(2) $\because a, b$ 为方程 $x^{2} + mx - 3m = 0$ 的两根, 且 $a = b$, $\therefore \Delta = 0$, $\therefore m^{2} + 12m = 0$, $\therefore m_{1} = 0, m_{2} = -12$. $\because a, b$ 为正数, $\therefore m = 0$ (舍去), $\therefore m = -12$.

18. (8分)阅读下列材料：
已知实数m,n满足$(2m^{2}+n^{2}+1)(2m^{2}+n^{2}-1)= 80$,试求$2m^{2}+n^{2}$的值．
解：设$2m^{2}+n^{2}= t$,则原方程变为$(t+1)(t-1)= 80$,整理得$t^{2}-1= 80$,$t^{2}= 81$,$\therefore t= \pm 9$．
$\because 2m^{2}+n^{2}≥0$,$\therefore 2m^{2}+n^{2}= 9$．
上面这种方法称为“换元法”,“换元法”是数学学习中常用的一种思想方法,在结构较复杂的运算中,若把其中某些部分看成一个整体,并用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化．
根据以上材料内容,解决下列问题,并写出解答过程．
(1)已知实数x,y满足$(2x^{2}+2y^{2}+3)(2x^{2}+2y^{2}-3)= 27$,求$x^{2}+y^{2}$的值；
解: (1) 设 $2x^{2} + 2y^{2} = a$, 则原方程变为 $(a + 3)(a - 3) = 27$, 整理得 $a^{2} - 9 = 27$, $a^{2} = 36$, 解得 $a = \pm 6$, $\because 2x^{2} + 2y^{2} \geq 0$, $\therefore 2x^{2} + 2y^{2} = 6$, $\therefore x^{2} + y^{2} =$3.
(2)若四个连续正整数的积为11880,求这四个连续正整数．
解: (2) 设最小的正整数为 $x$, 则另三个分别为 $x + 1, x + 2, x + 3$, 根据题意, 得 $x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 11880$, $[x(x + 3)][(x + 1)(x + 2)] = 11880$, $(x^{2} + 3x)(x^{2} + 3x + 2) = 11880$. 设 $x^{2} + 3x = a$, 则原方程变为 $a(a + 2) = 11880$, 整理得 $a^{2} + 2a = 11880$, 即 $(a + 1)^{2} = 11881$, 解得 $a + 1 = \pm 109$, 故 $a = 108$ 或 $-110$. 又 $\because a$ 是正整数, $\therefore a = 108$, $\therefore x^{2} + 3x - 108 = 0$, 解得 $x = 9$ 或 $x = -12$ (舍去). $\therefore$ 这四个连续正整数分别是9, 10, 11, 12.

答案： 解:
(1) 设 $2x^{2} + 2y^{2} = a$, 则原方程变为 $(a + 3)(a - 3) = 27$, 整理得 $a^{2} - 9 = 27$, $a^{2} = 36$, 解得 $a = \pm 6$, $\because 2x^{2} + 2y^{2} \geq 0$, $\therefore 2x^{2} + 2y^{2} = 6$, $\therefore x^{2} + y^{2} = 3$.
(2) 设最小的正整数为 $x$, 则另三个分别为 $x + 1, x + 2, x + 3$, 根据题意, 得 $x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 11880$, $[x(x + 3)][(x + 1)(x + 2)] = 11880$, $(x^{2} + 3x)(x^{2} + 3x + 2) = 11880$. 设 $x^{2} + 3x = a$, 则原方程变为 $a(a + 2) = 11880$, 整理得 $a^{2} + 2a = 11880$, 即 $(a + 1)^{2} = 11881$, 解得 $a + 1 = \pm 109$, 故 $a = 108$ 或 $-110$. 又 $\because a$ 是正整数, $\therefore a = 108$, $\therefore x^{2} + 3x - 108 = 0$, 解得 $x = 9$ 或 $x = -12$ (舍去). $\therefore$ 这四个连续正整数分别是 9, 10, 11, 12.

19. (10分)习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力,让人得到智慧启发,让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动,利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计,第一个月进馆128人次,以后进馆人次逐月增加,到第三个月末累计进馆608人次,若进馆人次的月平均增长率相同．
(1)求进馆人次的月平均增长率；
(2)因条件限制,学校图书馆每月接纳能力不超过500人次,在进馆人次的月平均增长率不变的条件下,校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次,并说明理由．

答案： 解:
(1) 设进馆人次的月平均增长率为 $x$, 则由题意得 $128 + 128(1 + x) + 128(1 + x)^{2} = 608$, 化简得 $4x^{2} + 12x - 7 = 0$, $\therefore (2x - 1)(2x + 7) = 0$, $\therefore x = 0.5 = 50\%$ 或 $x = -3.5$ (舍去), 故进馆人次的月平均增长率为 $50\%$.
(2) $\because$ 进馆人次的月平均增长率为 $50\%$, $\therefore$ 第四个月的进馆人次为 $128 \times (1 + 50\%)^{3} = 128 \times \frac{27}{8} = 432 ＜ 500$, 故校图书馆能接纳第四个月的进馆人次.