《2025年暑假总动员八年级数学沪科版合肥工业大学出版社》

11. 如果一个直角三角形的一条直角边是另一条直角边的2倍,斜边长是5cm,那么这个直角三角形的面积为5cm²。

答案： $5cm^{2}$

12. 已知$|x - 12|+(y - 13)^{2}与z^{2}-10z + 25$互为相反数,则以$x$,$y$,$z$为三边的三角形为______直角三角形。

答案： 直角三角形

13. 如图,在$Rt\triangle ABC$中$,∠ACB= 90^{\circ},AC= 4,BC= 3,$将$\triangle ABC$扩充为等腰三角形ABD,使扩充的部分是以AC为直角边的直角三角形,则CD的长为3 或$ \frac{7}{6} $或 2。

答案： 3 或 $\frac{7}{6}$ 或 2

14. 如图,有一圆柱高为12cm,底面半径是3cm,在圆柱下底面$A$处有一只蚂蚁,它想得到上面$B$处的食物,则蚂蚁经过的最短距离是______15cm。($\pi$取3)

答案： 15

15. (8分)如图,在$\triangle ABC$中,$∠A= 90^{\circ}$,$DE为BC$的垂直平分线。求证：$BE^{2}= AC^{2}+AE^{2}$。
证明:连接 CE,则 $BE = CE$。$\because ∠A = 90^{\circ}$，$\therefore AE^{2} + AC^{2} = EC^{2}$，$\therefore AE^{2} + AC^{2} = BE^{2}$，即 $BE^{2} = AC^{2} + AE^{2}$。

答案： 证明:连接 CE,则 $BE = CE$。$\because ∠A = 90^{\circ}$，$\therefore AE^{2} + AC^{2} = EC^{2}$，$\therefore AE^{2} + AC^{2} = BE^{2}$，即 $BE^{2} = AC^{2} + AE^{2}$。

16. (8分)已知：$a = m^{2}-n^{2}$,$b = 2mn$,$c = m^{2}+n^{2}$,其中$m$,$n$为正整数,且$m＞n$,试判断$a$,$b$,$c$是否为勾股数。

答案： 解: $\because m$，$n$ 是正整数，且 $m ＞ n$，$\therefore a$，$b$，$c$ 均为正整数。又 $\because c - a = m^{2} + n^{2} - (m^{2} - n^{2}) = 2n^{2} ＞ 0$，$\therefore c ＞ a$。又 $\because c - b = m^{2} + n^{2} - 2mn = (m - n)^{2} ＞ 0$，$\therefore c ＞ b$，$\therefore c$ 为最大数。又 $\because a^{2} + b^{2} = (m^{2} - n^{2})^{2} + (2mn)^{2} = m^{4} - 2m^{2}n^{2} + n^{4} + 4m^{2}n^{2} = m^{4} + 2m^{2}n^{2} + n^{4} = (m^{2} + n^{2})^{2}$，$c^{2} = (m^{2} + n^{2})^{2}$，$\therefore a^{2} + b^{2} = c^{2}$，$\therefore a$，$b$，$c$ 为勾股数。

17. (8分)如图是某公园“六一”前增设的一台滑梯,该滑梯高$AC = 2m$,滑梯着地点$B与梯架之间的距离BC = 4m$。
(1)求滑梯$AB$的长；(精确到0.1m)
(2)若规定滑梯倾斜角($∠ABC$)不超过$45^{\circ}$属于安全范围,请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合要求。
(1)4.5m
(2)符合要求

答案： 解:
(1) 在 $\triangle ABC$ 中，$AC = 2$，$BC = 4$，$∠ACB = 90^{\circ}$，$\therefore AB = \sqrt{AC^{2} + BC^{2}} = \sqrt{2^{2} + 4^{2}} = 2\sqrt{5} \approx 4.5(m)$。
(2) 在 $\triangle ABC$ 中，$\because ∠B + ∠BAC = 90^{\circ}$，$AC = 2m$，$BC = 4m$，$\therefore AC ＜ BC$，$\therefore ∠B ＜ ∠BAC$，$\therefore ∠B ＜ 45^{\circ}$，$\therefore$ 这架滑梯的倾斜角符合要求。

18. (8分)如图,在$\triangle ABC$中,$AB = BC$,$BE⊥AC于点E$,$AD⊥BC于点D$,$∠BAD = 45^{\circ}$,$AD与BE交于点F$,连接$CF$。
(1)求证：$BF = 2AE$；
(2)若$CD= \sqrt{2}$,求$AD$的长。

(1) 证明: $\because AD ⊥ BC$，$∠BAD = 45^{\circ}$，$\therefore ∠ABD = ∠BAD = 45^{\circ}$，$\therefore AD = BD$。$\because AD ⊥ BC$，$BE ⊥ AC$，$\therefore ∠CAD + ∠ACD = 90^{\circ}$，$∠CBE + ∠ACD = 90^{\circ}$，$\therefore ∠CAD = ∠CBE$。又 $\because ∠CDA = ∠BDF = 90^{\circ}$，$\therefore \triangle ADC ≌ \triangle BDF$，$\therefore AC = BF$。$\because AB = BC$，$BE ⊥ AC$，$\therefore AE = EC$，即 $AC = 2AE$，$\therefore BF = 2AE$。
(2) 解: $\because \triangle ADC ≌ \triangle BDF$，$\therefore DF = CD = \sqrt{2}$。在 $Rt\triangle CDF$ 中，$CF = \sqrt{DF^{2} + CD^{2}} = 2$。$\because BE ⊥ AC$，$AE = EC$，$\therefore AF = FC = 2$，$\therefore AD = AF + DF =$$2 + \sqrt{2}$。

答案：
(1) 证明: $\because AD ⊥ BC$，$∠BAD = 45^{\circ}$，$\therefore ∠ABD = ∠BAD = 45^{\circ}$，$\therefore AD = BD$。$\because AD ⊥ BC$，$BE ⊥ AC$，$\therefore ∠CAD + ∠ACD = 90^{\circ}$，$∠CBE + ∠ACD = 90^{\circ}$，$\therefore ∠CAD = ∠CBE$。又 $\because ∠CDA = ∠BDF = 90^{\circ}$，$\therefore \triangle ADC ≌ \triangle BDF$，$\therefore AC = BF$。$\because AB = BC$，$BE ⊥ AC$，$\therefore AE = EC$，即 $AC = 2AE$，$\therefore BF = 2AE$。
(2) 解: $\because \triangle ADC ≌ \triangle BDF$，$\therefore DF = CD = \sqrt{2}$。在 $Rt\triangle CDF$ 中，$CF = \sqrt{DF^{2} + CD^{2}} = 2$。$\because BE ⊥ AC$，$AE = EC$，$\therefore AF = FC = 2$，$\therefore AD = AF + DF = 2 + \sqrt{2}$。

19. (10分)定义：如图,点$M$,$N把线段AB分割成AM$,$MN$,$NB$,若以$AM$,$MN$,$NB$的长为三边长的三角形是一个直角三角形,则称点$M$,$N是线段AB$的勾股分割点。
(1)已知$M$,$N把线段AB分割成AM$,$MN$,$NB$,若$AM = 2$,$MN = 4$,$BN = 2\sqrt{3}$,则点$M$,$N是线段AB$的勾股分割点吗？请说明理由。
是。理由如下: $AM^{2} + BN^{2} = 2^{2} + (2\sqrt{3})^{2} = 16$，$MN^{2} = 4^{2} = 16$，$\therefore AM^{2} + BN^{2} = MN^{2}$，$\therefore$ 以 $AM$，$MN$，$NB$ 的长为三边长的三角形是一个直角三角形。故点 $M$，$N$ 是线段 $AB$ 的勾股分割点。
(2)已知点$M$,$N是线段AB$的勾股分割点,且$AM$的长为直角边长,若$AB = 12$,$AM = 5$,求$BN$的长。
设 $BN = x$，则 $MN = 12 - AM - BN = 7 - x$，① 当 $MN$ 为最长线段时，依题意有 $MN^{2} = AM^{2} + NB^{2}$，即 $(7 - x)^{2} = x^{2} + 25$，解得 $x = \frac{12}{7}$；② 当 $BN$ 为最长线段时，依题意有 $BN^{2} = AM^{2} + MN^{2}$，即 $x^{2} = 25 + (7 - x)^{2}$，解得 $x = \frac{37}{7}$。综上所述，$BN$ 的长为 $\frac{12}{7}$ 或 $\frac{37}{7}$。

答案： 解:
(1) 是。理由如下: $AM^{2} + BN^{2} = 2^{2} + (2\sqrt{3})^{2} = 16$，$MN^{2} = 4^{2} = 16$，$\therefore AM^{2} + BN^{2} = MN^{2}$，$\therefore$ 以 $AM$，$MN$，$NB$ 的长为三边长的三角形是一个直角三角形。故点 $M$，$N$ 是线段 $AB$ 的勾股分割点。
(2) 设 $BN = x$，则 $MN = 12 - AM - BN = 7 - x$，① 当 $MN$ 为最长线段时，依题意有 $MN^{2} = AM^{2} + NB^{2}$，即 $(7 - x)^{2} = x^{2} + 25$，解得 $x = \frac{12}{7}$；② 当 $BN$ 为最长线段时，依题意有 $BN^{2} = AM^{2} + MN^{2}$，即 $x^{2} = 25 + (7 - x)^{2}$，解得 $x = \frac{37}{7}$。综上所述，$BN$ 的长为 $\frac{12}{7}$ 或 $\frac{37}{7}$。