《2025年暑假总动员八年级数学沪科版合肥工业大学出版社》

28. (贵阳)为庆祝“中国共产党的百年华诞”,某校请广告公司为其制作“童心向党”文艺活动的展板、宣传册和横幅,其中制作宣传册的数量是展板数量的5倍,广告公司制作每件产品所需时间和利润如表：

(1)若制作三种产品共计需要25小时,所获利润为450元,求制作展板、宣传册和横幅的数量；
答：制作展板、宣传册和横幅的数量分别为10件，50件，10件.
(2)若广告公司所获利润为700元,且三种产品均有制作,求制作三种产品总量的最小值.
答：制作三种产品总量的最小值为75件.

答案： 解：设制作展板的数量为 $ a $ 件，制作横幅的数量为 $ b $ 件，则制作宣传册的数量为 $ 5a $ 件.
(1)根据题意，得 $\begin{cases} a + \frac{1}{5}×5a + \frac{1}{2}b = 25, \\ 20a + 3×5a + 10b = 450, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} a = 10, \\ b = 10, \end{cases}$ $\therefore 5a = 50 $，$\therefore$ 制作展板、宣传册和横幅的数量分别为 10 件，50 件，10 件.
(2)根据题意，得 $ 20a + 3×5a + 10b = 700 $，$\therefore b = 70 - 3.5a $，$\therefore$ 制作三种产品总量为 $ y = a + 5a + b = 6a + 70 - 3.5a = 2.5a + 70 $. $\because 2.5 ＞ 0 $，$\therefore y $ 随 $ a $ 的增大而增大. 由题意，得 $ a \geq 1 $，且 $ a $ 为整数；$ b \geq 1 $，且 $ b $ 为整数. $\because b = 70 - 3.5a $，$\therefore a $ 为偶数，$\therefore$ 当 $ a = 2 $ 时，$ y $ 最小，最小值为 $ 2.5×2 + 70 = 75 $ (件)，$\therefore$ 制作三种产品总量的最小值为 75 件.

29. (云南)某鲜花销售公司每月付给销售人员的工资有两种方案.
方案一：没有底薪,只付销售提成；
方案二：底薪加销售提成.
下图中的射线$l_{1}$、射线$l_{2}$分别表示该鲜花销售公司每月按方案一、方案二付给销售人员的工资$y_{1}$(单位：元)和$y_{2}$(单位：元)与其当月鲜花销售量$x$(单位：千克)($x\geqslant 0$)的函数关系.
(1)分别求$y_{1}$,$y_{2}与x$的函数解析式(解析式也称表达式)；
$y_{1}=$$30x$，$y_{2}=$$10x + 800$
(2)若该公司某销售人员今年3月份的鲜花销售量没有超过70千克,但其3月份的工资超过2000元.这个公司采用了哪种方案给这名销售人员付3月份的工资？
方案一

答案： 解：
(1)设 $ y_1 = k_1x(k_1 \neq 0) $，把 $(40,1200)$ 代入，得 $ 1200 = 40k_1 $，解得 $ k_1 = 30 $，$\therefore y_1 $ 与 $ x $ 的函数解析式为 $ y_1 = 30x $. 设 $ y_2 = k_2x + b(k_2 \neq 0) $，把 $(0,800)$，$(40,1200)$ 分别代入，得 $\begin{cases} b = 800, \\ 40k_2 + b = 1200, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k_2 = 10, \\ b = 800, \end{cases}$ $\therefore y_2 $ 与 $ x $ 的函数解析式为 $ y_2 = 10x + 800 $.
(2)当 $ y_1 ＞ 2000 $ 时，有 $ 30x ＞ 2000 $，解得 $ x ＞ 66\frac{2}{3} $. $\because 66\frac{2}{3} ＜ 70 $，$\therefore$ 方案一符合题意. 当 $ y_2 ＞ 2000 $ 时，有 $ 10x + 800 ＞ 2000 $，解得 $ x ＞ 120 $. $\because 120 ＞ 70 $，$\therefore$ 方案二不符合题意，舍去. $\therefore$ 这个公司采用了方案一给这名销售人员付 3 月份的工资.