《2025年暑假总动员八年级数学沪科版合肥工业大学出版社》

21.如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,CD平分$∠ACB$交AB于点D,$AE// DC$交BC的延长线于点E,若$∠BAC= 32^{\circ }$,则$∠E$的度数为 (C)

A.$48^{\circ }$
B.$42^{\circ }$
C.$37^{\circ }$
D.$32^{\circ }$

答案： C

22.如图,等边$\triangle OAB$的边长为2,则点B的坐标为 (B)

A.$(1,1)$
B.$(1,3)$
C.$(\sqrt {3},1)$
D.$(\sqrt {3},\sqrt {3})$

答案： B

23.如图,面积为1的等边三角形ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,则$\triangle DEF$的面积是 (D)

A.1
B.$\frac {1}{2}$
C.$\frac {1}{3}$
D.$\frac {1}{4}$

答案： D

24.如图,$\triangle ABC$中,$∠B= 60^{\circ },BA= 3,BC= 5$,点E在BA的延长线上,点D在BC边上,且$ED= EC$.若$AE= 4$,则BD的长为____2.

答案： 2

25.(娄底)如图,$\triangle ABC$中,$AB= AC= 2$,P是BC上任意一点,$PE⊥AB$于点E,$PF⊥AC$于点F,若$S_{\triangle ABC}= 1$,则$PE+PF= $1.

答案： 1

26.(绍兴)如图,在$\triangle ABC$中,$∠A= 40^{\circ }$,点D,E分别在边AB,AC上,$BD= BC= CE$,连接CD,BE.
(1)若$∠ABC= 80^{\circ }$,求$∠BDC$=50°,$∠ABE$=20°;
(2)写出$∠BEC与∠BDC$之间的关系,并说明理由.
$∠BEC + ∠BDC$=110°.

答案： 解:
(1) $ \because \angle ABC = 80^{\circ} $, $ BD = BC $, $ \therefore \angle BDC = \angle BCD = 50^{\circ} $. 在 $ \triangle ABC $ 中, $ \angle A + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ} $, $ \because \angle A = 40^{\circ} $, $ \therefore \angle ACB = 60^{\circ} $. $ \because CE = BC $, $ \therefore \angle EBC = 60^{\circ} $, $ \therefore \angle ABE = \angle ABC - \angle EBC = 20^{\circ} $.
(2) $ \angle BEC + \angle BDC = 110^{\circ} $. 理由如下: 设 $ \angle BEC = \alpha $, $ \angle BDC = \beta $. 在 $ \triangle ABE $ 中, $ \alpha = \angle A + \angle ABE = 40^{\circ} + \angle ABE $. $ \because CE = BC $, $ \therefore \angle CBE = \angle BEC = \alpha $, $ \therefore \angle ABC = \angle ABE + \angle CBE = \angle A + 2 \angle ABE = 40^{\circ} + 2 \angle ABE $. $ \because $ 在 $ \triangle BDC $ 中, $ BD = BC $, $ \therefore \angle BDC + \angle BCD + \angle DBC = 2 \beta + 40^{\circ} + 2 \angle ABE = 180^{\circ} $, $ \therefore \beta = 70^{\circ} - \angle ABE $, $ \therefore \alpha + \beta = 40^{\circ} + \angle ABE + 70^{\circ} - \angle ABE = 110^{\circ} $, $ \therefore \angle BEC + \angle BDC = 110^{\circ} $.

27.已知等腰三角形ABC的底边$BC= 2\sqrt {5}$,D是腰AB上一点,且$CD= 4,BD= 2$.
(1)求证:$CD⊥AB$;
证明: $ \because BD = 2 $, $ CD = 4 $, $ BC = 2 \sqrt { 5 } $, $ 2 ^ { 2 } + 4 ^ { 2 } = ( 2 \sqrt { 5 } ) ^ { 2 } $, $ \therefore BD ^ { 2 } + CD ^ { 2 } = BC ^ { 2 } $, 由勾股定理的逆定理,得 $ \angle BDC = 90^{\circ} $, 即 $ CD \perp AB $.
(2)求$\triangle ABC$的面积.
解: 设 $ AD = x $, 则 $ AB = 2 + x $. $ \because \triangle ABC $ 为等腰三角形, $ \therefore AC = AB = 2 + x $. 在 $ Rt \triangle ADC $ 中, $ x ^ { 2 } + 4 ^ { 2 } = ( 2 + x ) ^ { 2 } $, 解得 $ x = 3 $, $ \therefore AB = 5 $, $ \therefore S _ { \triangle A B C } = \frac { 1 } { 2 } A B \cdot C D = \frac { 1 } { 2 } × 5 × 4 = 10$.

答案：
(1)证明: $ \because BD = 2 $, $ CD = 4 $, $ BC = 2 \sqrt { 5 } $, $ 2 ^ { 2 } + 4 ^ { 2 } = ( 2 \sqrt { 5 } ) ^ { 2 } $, $ \therefore BD ^ { 2 } + CD ^ { 2 } = BC ^ { 2 } $, 由勾股定理的逆定理,得 $ \angle BDC = 90^{\circ} $, 即 $ CD \perp AB $.
(2)解: 设 $ AD = x $, 则 $ AB = 2 + x $. $ \because \triangle ABC $ 为等腰三角形, $ \therefore AC = AB = 2 + x $. 在 $ Rt \triangle ADC $ 中, $ x ^ { 2 } + 4 ^ { 2 } = ( 2 + x ) ^ { 2 } $, 解得 $ x = 3 $, $ \therefore AB = 5 $, $ \therefore S _ { \triangle A B C } = \frac { 1 } { 2 } A B \cdot C D = \frac { 1 } { 2 } \times 5 \times 4 = 10 $.

28.满足下列条件的三角形中,是直角三角形的是 (B)
A.三个内角度数之比是$3:4:5$
B.三边长之比为$5:12:13$
C.三边长之比是$1:\sqrt {2}:3$
D.三个内角度数之比为$2:3:4$

答案： B

29.如图,在$Rt\triangle ABC$中,$∠A= 30^{\circ }$,DE垂直平分斜边AC,交AB于点D,E为垂足,连接CD,若$BD= 1$,则AC的长是 (B)

A.2
B.$2\sqrt {3}$
C.4
D.$4\sqrt {3}$

答案： B